Вряде задач требуется не только найти подходящую оценку для параметра α, но и оценить ее точность и надежность.
Требуется знать, к каким ошибкам приведет замена самого параметра его оценкой.
Такая задача актуальна при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна и ее использование может привести к серьезным ошибкам.
Пусть для параметра a получена из опыта несмещенная оценка â. Оценим возникающую при этом ошибку.
Назначим некоторую достаточно большую вероятность γ, такую, что событие с вероятностью γ можно считать практически достоверными найдем такое значение ε, для которого
p aˆ a
Тогда диапазон практически возможных значений ошибки , возникающей при замене a на â будет
Большие ошибки будут появляться только с малой по величине вероятностью 1
Перепишем равенство в виде:
p aˆ a aˆ
Оно означает, что с вероятностью γ неизвестное значение параметра a попадает в интервал
(aˆ , aˆ )
Этот интервал является случайным, а величина a – не случайна.
Положение интервала будет зависить от положения его центра â, его длина 2ε тоже будет случайной величиной.
Поэтому величина γ трактуется как вероятность того, что случайный интервал накроет точку a.
0 |
ˆ |
a |
ˆ |
ˆ |
a |
|
a |
a |
Заранее задаваемая вероятность γ называется доверительной вероятностью
Интервал называется доверительным интервалом.
Границы интервала называются доверительными границами.
Возникает |
вопрос: нельзя ли найти |
такой |
интервал |
, который с заранее заданной, близкой |
|
к единице, вероятностью γ накрывал истинное значение α?
Для этого необходимо найти доверительные границы. Если бы был известен закон распределения величины â, то для того, чтобы найти границы доверительного интервала достаточно было бы найти такое значение ε, что
p aˆ a
Но закон распределения оценки â зависит от распределения величины Х и его неизвестных параметров, в том числе и параметра а.
В некотором приближении можно заменить в выражении для ε неизвестные величины их точечными оценками.
При сравнительно большом числе опытов (20-30), этот прием дает удовлетворительные по точности результаты.
В качестве примера использования этого метода найдем доверительный интервал для математического ожидания СВ.
Пусть произведено n независимых опытов над случайной величиной Х, характеристики которой (мат. ожидание и дисперсия) неизвестны.
Для них получены оценки:
|
n |
ˆ |
1 |
|
|
|
2 |
X i |
|
n |
|||||
m |
i 1 |
D |
|
|
( Xi m) |
|
|
n |
|
|
|||||
n |
|
||||||
|
|
1 i 1 |
|
|
|||
Требуется построить доверительный интервал Δ, соответствующий доверительной вероятности γ для математического ожидания Х.
Величина m представляет собой сумму n
распределенных СВ Хi и согласно ЦПТ, при
достаточно большом n ее закон распределения близок к нормальному.
Поэтому будем считать, что оценка мат. ожидания распределена по нормальному закону и предположим, что величина D нам известна.
Найдем такую величину ε, для которой
p mˆ m
Оценкой для мат.ожидания служит среднее арифметическое наблюдаемых значений СВ.
p X m
По ЦПТ при достаточно большом n среднее арифметическое приближенно распределено по нормальному закону:
|
|
|
|
|
u |
2Ф(u) |
||
|
|
|
|
|||||
P |
X m |
|
|
|
|
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
По таблице значений функции Лапласа найдем такое значение
u u
2
при котором
Ф u |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|