Если математическое ожидание M[Y\X=a]
меняется в зависимости от параметра а, то говорят, что между величинами X и Y существует
регрессионная зависимость.
Сама зависимость называется регрессией Y на X.
Такая зависимость возникает, когда на данную функциональную зависимость
У=φ(Х)
накладывается внешнее возмущение
У= φ(Х) +ε
где ε– СВ, М[ε]=0.
ε влияет на Y но не зависит от X.
Одна из СВ, зависимость между которыми анализируется, называется фактором.
Другая считается зависимой от этого фактора.
Регрессионная зависимость имеет место между ростом и весом человека, ценой автомобиля и его возрастом и пр.
Пусть СВ У зависит от фактора Х и остаточного небольшого фактора , который влияет на У но не на Х.
Характеристикой общей изменчивости значений У является дисперсия:
D[Y ] M[(Y my )2 ]
В эту дисперсию будет вносить вклад Х и ε.
При фиксированном значении фактора Х=а дисперсия условного распределения будет иметь вид:
D[Y | X a] M[(Y | X a M[Y | X a)2 ]
Она будет характеризовать влияние на У остатка при данном значении.
Ее среднее значение D[Y | X a]
характеризует влияние в целом остатка ε на У:
D[Y | X a] D[Y, ост]
Математическое ожидание M[Y\X=a]
– центр группирования значений У при Х=а. M[Y] – общий центр группирования У.
Поэтому разброс групповых центров относительно общего центра определяет дисперсию
(M[Y | X a] M[Y ])2
Эта величина и определяет изменчивость значений У, вызванную фактором Х.
(M[Y | X a] M[Y ])2 D[Y, факт]
D[Y ] D[Y , факт] D[Y , ост]
Отсюда
1 D[Y, факт] |
D[Y, ост] |
D[Y ] |
D[Y ] |
D[Y, факт] |
1 |
D[Y, ост] |
Y2 |
\ X |
D[Y ] |
|
D[Y ] |
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент детерминации показывает, какая доля вариации значений У обусловлена вариацией фактора Х.
Y| X 
Y2| X
Как было показано ранее, корреляционное отношение находится в пределах:
0 Y| X 1
Условие
Y| X 1
необходимо и достаточно для однозначной функциональной зависимости У(Х), т.к.
Y| X 1 |
|
0 |
D[Y | X a] |
Но поскольку
D[Y | X a] 0
То
D[Y | X a] 0
для любого значения параметра а.
Следовательно, У является константой при любом значении фактора Х, т.е. имеется функция У(Х).
Условие
Y| X 0
необходимо и достаточно для отсутствия регрессионной зависимости У от Х, т.к.
Y| X 0 |
M[Y | X a] M[Y ] |
Т. е. M[Y\X=a] является константой и регрессионная зависимость отсутствует.