Вопросы

1. Какие поверхности называются линейчатыми?

2. Приведите примеры линейчатых поверхностей.

3. Какие Вы знаете проецирующие поверхности?

4. Что называется определителем поверхности.

5. Способы задания плоскости.

Тесты к теме «Поверхности и плоскости».

1.Что называется определителем поверхности

а)совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность

б) уравнение, описывающее образующую поверхности

в) уравнение, описывающее направленную поверхности

2. Какие поверхности называются линейчатыми

а) поверхности образованные движением кривой линии называется линейчатые поверхности

б) поверхности образованные движением окружности вокруг оси называются линейчатые поверхности

в) поверхности, образованные движением прямой линии называются линейчатыми

3.Можно ли образовать линейчатую поверхность при криволинейной образующей

а) да

б) нет

в) не всегда

4.Какая поверхность относится к линейчатым

а) пирамида

б) призма

в) цилиндр

5. Какая поверхность относится к кривым

а) сфера

б) пирамида

в)призма

Предварительные выводы

Основные выводы, касающиеся метода прямоугольного проецирования,

таковы:

1. В системе взаимно ортогональных плоскостей проекций определена и пространственная система координат, где положение любой точки описывается тремя ее координатами.

2. Проекция любой точки на комплексном чертеже однозначно определяется двумя координатами из этих трех (фронтальная А₂ (Х_А, Z_A), горизонтальная a₁ (Х_А, Y_A) и профильная А₃ (Y_A, Z_A)).

Важнейшие заключения, вытекающие из обзора геометрических образов (точка, линия, поверхность, плоскость):

1. Главная проекция прямой, плоскости или поверхности - проекция вырожденная (прямой - в точку, плоскости - в прямую линию, поверхности - в ее основание).

2. Наличие у некоего геометрического образа главной проекции служит признаком, что этот образ - проецирующий.

3. Основное свойство главной проекции проецирующего образа состоит в том, что любая точка или линия, принадлежащие прямой, плоскости или поверхности, одной из проекций будут иметь проекцию точки либо линии, совпадающие с главной проекцией прямой, плоскости или поверхности.

4. Из всего многообразия поверхностей проецирующими образами могут быть только прямые призма и цилиндр.

Принадлежность

В справочной литературе задачи о принадлежности часто относят к позиционным. Обычно различают три типа задач о принадлежности, решая которые, необходимо:

1. Определить, принадлежит или нет заданная точка линии, поверхности либо плоскости.

2. По заданной проекции точки или линии найти вторую (иногда - третью) проекцию точки, принадлежащей линии, плоскости или поверхности, либо линии, принадлежащей плоскости (поверхности).

3. Задать произвольную точку, принадлежащую известной линии, поверхности, плоскости (либо линию, лежащую на определенной поверхности или в плоскости).

Каждый тип задач о принадлежности решается на основании одних и тех же соображений. Рассмотрим подробнее различные виды принадлежности и способы решения связанных с ними задач.

А. Принадлежность точки линии. Решение в этом случае базируется на очевидном утверждении - точка лежит на прямой, если ее проекции принадлежат одноименным проекциям прямой (рис. 17; здесь точка С принадлежит прямой (АВ), а точка D - нет).

Б. Принадлежность точки поверхности. Основное положение при решении задач для такого варианта принадлежности следующее - точка принадлежит поверхности, если она лежит на какой-либо ее линии. В этом случае линии нужно выбирать наиболее простыми (с точки зрения легкости изображения их проекций), а затем использовать то обстоятельство, что проекции точек, лежащих на поверхности, принадлежат одноименным проекциям ее линий.

Пример 1. Принадлежит ли точка С поверхности конуса (рис. 18)?

Для решения задачи существует два пути, поскольку можно провести две простейшие линии, принадлежащие конической поверхности. В первом случае нужно провести прямую (образующую конической поверхности), проходящую через какую-либо заданную проекцию точки С, предполагая, что С принадлежит этой образующей, а, следовательно, и самой поверхности. Если такое предположение справедливо, одноименные проекции точки С будут лежать на соответствующих проекциях изображенной образующей. Другая простейшая линия - окружность с диаметром 1-2 (ее радиус отсчитывается от оси конуса до очерковой образующей), поскольку при пересечении кругового конуса плоскостью, параллельной его основанию (перпендикулярной оси), в сечении получается окружность. Второй способ решения - часто единственный, когда, допустим, необходимо найти недостающую проекцию точки С, заданной фронтальной проекцией, принадлежащей поверхности конуса и совпадающей на чертеже с осью вращения конуса.

Решая подобные задачи, всегда следует принимать во внимание, видима или нет точка, лежащая на поверхности конуса (если “нет”, соответствующую проекцию точки принято заключать в скобки).

В. Принадлежность линии поверхности. Здесь основное положение заключается в том, что линия принадлежит поверхности, если все ее точки лежат на этой поверхности. Таким образом, в указанном случае требуется несколько раз решить задачу о принадлежности точки поверхности.

Г. Принадлежность прямой плоскости. Тут справедливы приведенные выше соображения относительно принадлежности линии поверхности, но надо учитывать, что для плоскости простейшей линией всегда является прямая, положение которой в пространстве определяется двумя ее точками.

Пример 2. Найти произвольную точку К, принадлежащую плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми а и b (рис. 19).

Решение. Можно взять какую-либо произвольную точку К и пронести через нее прямую т, про которую точно известно, что она принадлежит заданной плоскости, а потом определить вторую проекцию выбранной точки, или сразу провести произвольную прямую, лежащую в плоскости, а затем уже определить положение искомой произвольной точки, задав ее соответствующие проекции, принадлежащие изображенной прямой.