Свойства прямоугольного проецирования

Прямоугольное проецирование обладает следующими свойствами.

1. Точка проецируется в точку.

2. В общем случае прямая проецируется в прямую.

3. Если точка принадлежит прямой, то и проекция точки принадлежит проекции прямой.

4. Если прямые параллельны, то их проекции тоже параллельны.

5. Отношение отрезков примой равно отношению их проекций.

6. Проекция геометрической фигуры по величине и форме не изменяется при параллельном перемещении плоскости проекций.

7. Проекция отрезка не может быть больше самого отрезка.

Доказательства перечисленных свойств рассмотрены в справочной литературе. Еще одно важное свойство будет приведено ниже.

Вопросы

1. Какие виды проецирования вы знаете?

2. Назовите свойства центрального проецирования.

3. Назовите свойства параллельного проецирования.

4. В чем отличия центрального проецирования от параллельного?

5. Что общего между ними?

Тесты к теме «Виды проецирования».

1. Сколько существует в начертательной геометрии видов проецирования

а) 1

б) 2

в) 3

2. Где находится проецирующий объект при проецировании

а) между наблюдателем и выбранной плоскостью проекций

б) сзади плоскости проекций

в) сзади наблюдателя

3. Какие геометрические элементы включает в себя аппарат проецирования

а) проецирующие лучи

б) проецирующие поверхности

в) плоскости - посредники

4. Что называется проецирующим лучом

а) прямая, параллельная плоскости проекций

б) прямая, проходящая через центр проецирования и точку (объект проецирования)

в) прямая, перпендикулярная плоскости проекций

5. Что называется проекцией точки

а) точку пересечения проецирующего луча с плоскостью проекции

б) точку пересечения проецирующего луча с объектом проецирования

в) точку пересечения проецирующих лучей

Комплексный чертеж. Эпюр точки

Проекционные изображения, используемые в технической документации, должны обладать наглядностью, простотой графического выполнения и обратимостью (т.е. давать возможность представить сам объект и в дальнейшем его изготовить).

Поскольку наличие одной проекции приводит к неопределенности в отображении предмета, на практике однопроекционные изображения дополняют. Важнейшим вариантом такого дополнения являются комплексные изображения. Их получают путем прямоугольного проецирования объекта на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Такой подход впервые предложил, систематизировал и описал Г. Монж.

Три взаимно перпендикулярные плоскости, на которые проецируют какой-либо предмет (или точку), позволяют получить три изображения, а также задать ортогональную систему координат OXYZ, в которой положение любой точки однозначно определяется тремя ее проекциями - А (Х_А, Y_A, Z_A). Как правило, считают, что объект располагается в пространстве плоскостей, образующих так называемый “правый” угол (рис. 2), где все координаты любой точки положительны. Вообще говоря, три взаимно ортогональные плоскости П₁-П₂-П₃ разбивают пространство на 8 частей (октантов). На рис. 2 показан один октант. Плоскости П₁-П₂-П₃ называют соответственно горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостями проекций, а проекциям любой точки на эти плоскости присваивают индексы 1, 2 и 3 (рис. 2).

Чтобы показать изображение предмета, спроецированное на триплоскости проекций, на одной плоскости, мысленно проводят разрез по оси OY и поворачивают плоскость П₁ вокруг оси ОХ, а плоскость П₃ - вокруг оси OZ до совмещения с плоскостью П₂, получая комплексный чертеж (рис. 3).

Линии А₁А₂ и А₂А₃ называют линиями проекционной связи (или просто линиями связи), причем А₁,А₂ перпендикулярна оси X, а А₂А₃ - Z.

Основные свойства трехпроекционного комплексного чертежа (эпюра точки), приведенного на рис. 3, таковы: две проекции точки принадлежат одной линии связи, линия связи перпендикулярна соответствующей оси координат, две проекции точки определяют третью.

Таким образом, комплексный чертеж (эпюр Монжа) - это изображение на одной плоскости нескольких взаимно ортогональных проекций предмета, полученное путем определенного совмещения плоскостей проекций с плоскостью чертежа.

Двухпроекционный эпюр представляет собой изображения предмета на двух плоскостях проекций, совмещенных с плоскостью чертежа. Им удобно пользоваться, поскольку две любые проекции предмета или точки всегда содержат все три их координаты, однозначно определяющие положение объекта в пространстве. Такой чертеж является обратимым, т.е. наличие двух проекций какого-либо предмета позволяет точно представить его.

Отметим, что точки, лежащие на одном проецирующем луче, являются конкурирующими (например, А и К на рис. 1), что лежит в основе одноименного метода, используемого для определения видимости проекций линий и плоских фигур.