§ 46. Послідовне і паралельне з'єднання провідників. Правила Кірхгофа

Провідники в електричних колах можуть з'єднуватися послідовно і паралельно.

При послідовному з'єднанні провідників (рис. 3.21) сила струму в усіх провідниках однакова:

I₁ = I₂ = I.

Рисунок 3.21.

За законом Ома, напруга U₁ і U₂ на кінцях провідниках становить:

U₁ = IR₁,   U₂ = IR₂.

Загальна напруга U на обох провідниках дорівнює сумі напруг U₁ і U₂ :

U = U₁ + U₂ = I(R₁ + R₂) = IR,

де R - електричний опір усього кола. Звідси слідує:

R = R₁ + R₂.

При послідовному з'єднанні повний опір кола дорівнює сумі опорів окремих провідників.

Цей результат справедливий для будь-якого числа послідовно сполучених провідників.

При паралельному з'єднанні (рис. 3.22) напруги U₁ і U₂ на обох провідниках однакові:

U₁ = U₂ = U.

Сума струмів I₁ + I₂, що протікають по обох провідниках, дорівнює струму в нерозгалуженому колі:

I = I₁ + I₂.

Цей результат виходить з того, що в точках розгалуження струмів (вузли A і B) в колі постійного струму не можуть накопичуватися заряди. Наприклад, до вузла A за час Δt підтікає заряд IΔt, а витікає від вузла за той же час заряд I₁Δt + I₂Δt. Отже, I = I₁ + I₂.

Рисунок 3.22.

Записуючи на підставі закону Ома

тоді

.

При паралельному з'єднанні провідників величина, зворотна загальному опору кола, дорівнює сумі величин, зворотних опорам паралельно включених провідників.

Цей результат справедливий для будь-якого числа паралельно включених провідників.

Формули для послідовного і паралельного з'єднання провідників дозволяють у багатьох випадках розраховувати опір складного кола, що складається з багатьох резисторів. На рисунку 3.23 наведений приклад такого кола і вказана послідовність обчислень.

Рисунок 3.23.

Слід зазначити, що далеко не усі складні кола, що складаються з провідників з різними опорами, можуть бути розраховані за допомогою формул для послідовного і паралельного з'єднання. На рисунку 3.24 наведений приклад електричного кола, який не можна розрахувати, вказаним вище методом.

Рисунок 3.24.

Електричні кола, подібні до зображеного на рисунку 3.24, а також кола, що містять розгалуження декілька джерел, розраховуються за допомогою правил Кірхгофа.

Правила Кірхгофа для розгалужених кіл

Правила Кірхгофа, являються узагальненням закону Ома на випадок розгалужених електричних кіл.

У розгалужених колах можна виділити вузлові точки (вузли), в яких сходяться не менше трьох провідників (рис. 3.25). Струми, впадаючі у вузол, прийнято вважати позитивними; струми, витікаючі з вузла, - негативними.

Рисунок 3.25.

У вузлах кола постійного струму не може відбуватися накопичення зарядів. Звідси слідує перше правило Кірхгофа :

Сума сил струмів для кожного вузла в розгалуженому колі дорівнює нулю:

I₁+I₂+I₃+..+I_n =0.

Перше правило Кірхгофа є наслідком закону збереження електричного заряду.

Рисунок 3.26. Рисунок 3.27

У розгалуженому колі завжди можна виділити деяку кількість замкнутих шляхів, що складаються з однорідних і неоднорідних ділянок. Такі замкнуті шляхи називаються контурами. На різних ділянках виділеного контуру можуть протікати різні струми. На рисунку 3.26 представлений простий приклад розгалуженого кола. Коло містить один незалежний вузол (a або d), і три контури abcd, adef і abcdef. З них тільки два є незалежними (наприклад, abcd і adef), оскільки третій не містить ніяких нових ділянок. Запишемо узагальнений закон Ома для ділянок контурів кола, зображеного на рисунку 3.26, наприклад, abcd. Для цього на кожній ділянці треба задати позитивний напрям струму і позитивний напрям обходу контуру.

При записі узагальненого закону Ома для кожної з ділянок необхідно дотримувати певні "правила знаків", які пояснюються на рисунку 3.27Для ділянок контуру abcd узагальнений закон Ома записується у виді, :

Для ділянки bc : I₁R₁ = Δφ_bc - ε ₁.

Для ділянки da : I₂R₂ = Δφ_da - ε₂.

Складаючи ліві і праві частини цієї рівності і зважаючи, що Δφ_bc = - Δφ_da, отримаємо:

I₁R₁ + I₂R₂ = Δφ_bc + Δφ_da – ε ₁- ε ₂ = – ε ₁ – ε ₂.

Аналогічно, для контуру adef можна записати:

- I₂R₂ + I₃R₃ = ε ₂+ε₃ .

Друге правило Кірхгофа можна сформулювати так: сума добутків опору кожного з ділянок будь-якого замкнутого контуру розгалуженого кола постійного струму на силу струму на цій ділянці дорівнює сумі ЕРС уздовж цього контуру.

Друге правило Кірхгофа є наслідком узагальненого закону Ома.

Перше і друге правила Кірхгофа, записані для усіх незалежних вузлів і контурів розгалуженого кола, дають в сукупності необхідне і достатнє число алгебраїчних рівнянь для розрахунку електричного кола. Для кола, зображеного на рисунку 3.26, система рівнянь для визначення трьох невідомих струмів I₁, I₂ і I₃ має вигляд:

I₁R₁+I₂R₂= – ε ₁– ε ₂.

-I₂R₂+I₃R₃= ε ₂+ ε ₃.

-I₁+I₂+I₃=0.

Таким чином, правила Кірхгофа зводять розрахунок розгалуженого електричного кола до розв’язку системи лінійних рівнянь . Якщо в результаті розв’язку сила струму на якійсь ділянці виявляється негативною, то це означає, що струм на цій ділянці йде в напрямі, протилежному до вибраного позитивного напряму.