§ 23. Основне рівняння мкт газів

Завдання молекулярно-кінетичної теорії полягає в тому, щоб встановити зв'язок між мікроскопічними (маса, швидкість, кінетична енергія молекул) і макроскопічними параметрами (тиск, об'єм, температура) ідеального газу.

В результаті кожного зіткнення швидкості молекул можуть змінюватися по модулю і по напряму; на інтервалах між послідовними зіткненнями молекули рухаються рівномірно і прямолінійно. У моделі ідеального газу передбачається, що усі зіткнення відбуваються за законами пружного удару, тобто підпорядковуються законам механіки.

Використовуючи модель ідеального газу, визначимо тиск газу на стінку посудини.

Взаємодію молекули із стінкою розглядаємо, як абсолютно пружний удар. В результаті проекція v_x швидкості молекули, перпендикулярна стінці, змінює свій знак на протилежний, а проекція v_y швидкості, паралельна стінці, залишається незмінною (рис.2.27). Тому зміна імпульсу молекули дорівнюватиме 2m₀v_x, де m₀ - маса молекули.

Виділимо на стінці деякий майданчик S (рис. 2.28). За час Δt з цим майданчиком зіткнуться усі молекули, що мають проекцію швидкості v_x, спрямовану у бік стінки, і знаходяться в циліндрі з площею основи S , і висотою v_xΔt.

Рисунок 2.27. Рисунок 2.28.

Нехай в одиниці об'єму посудини містяться n молекул; тоді число молекул в об'ємі циліндра становить nSv_xΔt. Але з цього числа лише половина рухається у бік стінки, а інша половина рухається в протилежному напрямі і із стінкою не стикається. Отже, число ударів молекул об майданчик S за час Δt дорівнює:

Оскільки кожна молекула при зіткненні із стінкою змінює свій імпульс на величину2m₀v_x, то повна зміна імпульсу усіх молекул, що зіткнулися за час Δt з майданчиком S, рівна:

За законами механіки ця зміна імпульсу усіх молекул, що зіткнулися із стінкою, відбувається під дією імпульсу сили FΔt, де F - деяка середня сила, діюча на молекули з боку стінки на майданчику S. Але за 3-м законом Ньютона така ж по модулю сила діє з боку молекул на майданчик S. Тому можна записати:

Розділивши обидві частини на SΔt, отримаємо:

де Р - тиск газу на стінку посудини.

При виводі цього співвідношення передбачалося, що усі n молекул, які знаходяться в одиниці об'єму газу, мають однакові проекції швидкостей на вісь X. Насправді це не так.

Щоб уточнити формулу для тиску газу на стінку посудини, припустимо, що усі молекули розбиті на групи,n₁, n₂, n₃ і т. д. з проекціями швидкостей v_x1, v_x2, v_x3 і т. д. відповідно.

При цьому:

Кожна група молекул вносить свій вклад в тиск газу. В результаті зіткнень із стінкою молекул з різними значеннями проекцій v_xi швидкостей виникає сумарний тиск

Сума, що входить в цей вираз, - це сума квадратів проекцій v_x усіх n молекул в одиничному об'ємі газу. Якщо цю суму розділити на n, то ми отримаємо

Тепер формулу для тиску газу можна записати у виді

Оскільки усі напрями для векторів швидкостей молекул рівно ймовірні, середнє значення квадратів їх проекцій на координатні осі рівні між собою:

Остання рівність витікає з формули:

Формула для середнього тиску газу на стінку посудини запишеться у виді

(2.10)

Це рівняння встановлює зв'язок між тискомp ідеального газу, масою молекули m₀, концентрацією молекул n, середнім значенням квадрата швидкості і середньою кінетичною енергією E_k поступального руху молекул. Його називають основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії газів.

Таким чином, тиск газу дорівнює двом третинам середньої кінетичної енергії поступальної ходи молекул, що містяться в одиниці об'єму.