0251552_38296_mankiv_gregori_n_makroekonomika

Додаток

Виробнича функція Коба-Дугласа

Яка виробнича функція описує те, як реальна економіка перетворює капітал і працю у ВВП? Відповідь на це запитання дала співпраця американського сенатора і американського математика.

Пауль Дуґлас був сенатором США від штату Ілінойс від 1949-го до 1966 р. У 1927 р., ще будучи професором економіки, П. Дуґлас зауважив дивовижний факт: поділ національного доходу між капіталом і працею з перебігом часу майже не змінювався. Інакше кажучи, в міру зростання виробництва сумарний дохід найманих працівників і сумарний дохід власників капіталу зростав однаковим темпом. Це спостереження змусило Дуґласа задуматись над питанням про причини усталеності часток факторів виробництва у національному доході.

Дуґлас звернувся до математика Чарлза Коба із запитанням, яка виробнича функція, якщо така існує, мала б властивість усталеності часток факторів виробництва, за умови, що фактори виробництва завжди привласнюють свої граничні продукти. Виробнича функція мала б володіти властивостями:

дохід на капітал = МРК х К = αY,

дохід на працю = МРЬ х L = (1 — α) Y,

де α — стала від нуля до одиниці, що вимірює частку капіталу в доході, тобто а визначає, яку частку доходу привласнюють власники капіталу, а яка йде на оплату праці. Коб показав, що функцією з такими властивостями є:

Y = F(К, L) = АКαL1 - α,

де А — параметр, що вимірює продуктивність наявної технології. Ця функція стала відома як

виробнича функція Коба—Дугласа.

Детальніше розгляньмо деякі властивості цієї виробничої функції. По-перше, виробнича функція Коба—Дуґласа володіє властивістю постійної віддачі від масштабу, тобто якщо кількості праці і капіталу зростають на певний відсоток, то обсяг виробництва збільшується на той самий відсоток .

Тепер розгляньмо граничні продукти факторів для виробничої функції Коба—Дуґласа. Граничний продукт праці дорівнює :

MPL = (1-α) AKαL - α

і граничний продукт капіталу:

МРК = αAKα – 1 L 1- α

З цих рівнянь, враховуючи, що а стала, яка змінюється в інтервалі від 0 до одиниці, можна виявити причини змін граничних продуктів факторів виробництва. Збільшення кількості капіталу збільшує MPL і зменшує МРК. Науково-технічний прогрес, який збільшує параметр А, пропорційно збільшує граничний продукт обох факторів виробництва.

Граничні продукти для виробничої функції Коба—Дуґласа можна записати й так :

MPL = (1 - α) Y/L.

МРК = α Y/К.

MPL є пропорційний обсягові продукції на працівника, а МРК — пропорційний обсягові продукції на одиницю капіталу. Y/L називають середньою продуктивністю пращ, а Y/K — середньою продуктивністю капіталу. Для виробничої функції Коба—Дуґласа гранична продуктивність фактора виробництва пропорційна його середній продуктивності.

Тепер можна показати, що коли фактори виробництва отримують свої граничні продукти, то параметр а насправді показує, яку частку доходу привласнює праця і яку — капітал. Загальні витрати на оплату праці, як ми уже бачили, становлять MPL х L, або просто (1 — а) У. Отже, (1-а)

— частка праці у виробленому продукті. Так само загальна сума доходу на капітал МРК х К дорівнює а У і а — частка капіталу в продукті. Відношення доходу праці до доходу капіталу є сталим, що і виявив Дуглас, Частки факторів виробництва у доході залежать лише від параметра а і не залежать ні від кількості праці і капіталу, ні від стану технології, який вимірюється параметром А.

Свіжі дані для американської економіки також узгоджуються з виробничою функцією КобаДуґласа. На графіку 3-11 показано відношення доходу праці до загального доходу у США з 1960-го до 1996 р. Незважаючи на численні зміни в економіці упродовж останніх чотирьох десятиліть, це відношення усталене і становить приблизно 0,7. Такий розподіл доходу легко пояснює виробнича функція Коба—Дуґласа, в якій параметр а становить приблизно 0,3.

6Математична примітка. Для отримання значень граничних продуктів з виробничої функції необхідно дещо згадати з математики. Щоб знайти МРL, продиференціюйте виробничу функцію по І. Це можна зробити, помноживши функцію на показник степеня (1 — α) і вираховуючи і із старого показника степеня щоб отримати новий показник степеня: — α. Аналогічно, щоб отримати МРК, продиференціюйте функцію по К.

7Математична примітка. Для перевірки цих виразів граничних продуктів підставте виробничу функцію замість Y. Це дає змогу показати, що ці вирази еквівалентні попереднім формулам граничних продуктів.

Графік 3-14. Відношення доходу праці до загального доходу. Частка праці у національному доході упродовж тривалого періоду часу становить приблизно 0,7 в економіці США. Ця приблизна усталеність часток факторів виробництва у національному доході є доказом на користь виробничої функції Коба—Дуґласа. (Цей графік побудовано на підставі даних про національний дохід США. Дохід праці — це зарплата найманих працівників. Загальний дохід — це сума доходів праці, прибутків корпорацій, чистого процента, ренти та амортизації. Доходи власників у цих обчисленнях не враховано, бо вони є поєднанням доходу праці і доходу капіталу).

Джерело: U. S. Department оf Commerce.

ДОДАТКОВІ ЗАВДАННЯ

Розділ 4

Економічне зростання І

Питання економічного зростання не є новим, окрім нових форм вираження цієї старої проблеми, питання, яке завжди цікавило та полонило економічну науку: сучасність проти майбутнього.

Джеймс Тобін

Якщо ви коли-небудь говорили із своїми бабусями та дідусями про те, яким було їхнє життя, коли вони були молодими, то цілком імовірно, що вам дали важливий урок з економіки: в більшості країн з плином часу рівень життя значної частини населення помітно зростає. Це зростання пов’язане із збільшенням доходів, які дають змогу людям споживати більший обсяг товарів і послуг.

Для вимірювання економічного зростання здебільшого використовують дані про валовий внутрішній продукт, який підсумовує доходи всіх учасників економіки. Реальний ВВП США сьогодні більш ніж утричі перевищує рівень 1950 р. Рівень життя в різних країнах далеко не однаковий. У таблиці 4-1 наведено подушний дохід v 1997 р для дванадцяти найбільших за населенням країн світу. США очолюють цей список із доходом 28 740 дол. на людину. Подушний дохід в Нігерії лише 880 дол., що становить менш як 3% від відповідного показника для США.

Таблиця 4-і

Відмінності між країнами у рівні життя, 1997 р.

Джерело: Світовий банк

Мета цього і наступного розділів — з'ясувати причини змін у рівні доходу з плином часу, а також розриву в доходах між країнами. У розділі 3 розглянуто фактори виробництва (капітал і праця) та виробничу технологію як джерела виробництва товарів і послуг, а отже, й доходу. Тому різниця в доходах повинна зумовлюватись відмінностями в капіталі, праці і технологіях.

Наше основне завдання — розвинути теорію економічного зростання, яку називають моделлю зростання Солоу. Проведений у розділі 3 аналіз дав нам змогу описати виробництво і розподіл створеного в економіці продукту за напрямами використання в певний момент часу. Цей аналіз був статичним, певною миттєвою світлиною економіки. Для пояснення зростання національного доходу, а також неоднакових темпів еконо

мічного зростання різних країн нам доведеться урізноманітнити інструментарій нашого дослідження, який дозволяє описувати зміни в економіці а плином часу. Застосувавши цей інструментарій, ми зробимо наш аналіз динамічним — подібним до фільму, а не до фотографії. Модель зростання Солоу показує, як заощадження, зростання населення і науково-технічний прогрес впливають на зростання обсягу виробництва. У цьому розділі проаналізовано роль заощаджень; і зростання населення в економічному зростанні. У наступному розділі врахуємо роль науково-технічного прогресу в розвитку економіки .

4-1. Нагромадження капіталу

Модель економічного зростання Солоу допомагає виявити, як пов'язані між собою зростання обсягу капіталу, робочої сили і науково-технічний прогрес і як вони впливають на обсяг національного виробництва. Ми поступово будуватимемо цю модель з окремих її складових. Насамперед ми проаналізуємо, як попит і пропозиція економічних благ визначає нагромадження капіталу. Для цього припускаємо, що величина трудових ресурсів є незмінною, а науково-технічний прогрес - відсутній. Відтак ми відмовимось від цих припущень, і ще в цьому розділі врахуємо зростання трудових ресурсів, а в наступному розділі — науково-технічний прогрес.

Пропозиція і попит на товари і послуги

Пропозиція і попит на товари і послуги, які були ключовими складовими статичної моделі економіки з розділу 3, мають таке саме значення у моделі Солоу. Враховуючи пропозицію і попит на товари і послуги, можна зрозуміти, що визначає обсяг виробництва в кожний момент часу і як цей обсяг розподіляється між різними напрямами використання.

Пропозиція і виробнича функція. Пропозиція товарів і послуг в моделі Солоу ґрунтується на відомій нам виробничій функції, з якої випливає, що обсяг продукції залежить від величини капіталу та робочої сили:

Y = F (K,L)

Модель Солоу передбачає, що виробнича функція має постійну віддачу від масштабу. Це припущення, як побачимо, допомагає спростити аналіз. Нагадаємо, що виробнича функція має постійну віддачу від масштабу, якщо:

zY = F( zK, zL)

для будь-якого додатного значення г. Інакше кажучи, якщо помножити обсяг капіталу і праці на z, то обсяг виробництва також збільшиться на z.

Виробничі функції із постійною віддачею від масштабу дають змогу аналізувати всі величини в економіці стосовно одного працівника. Щоб переконатися в цьому, нехай z = 1/L у наведеній вище формулі. Тоді отримаємо:

Y/L = F( K/L, 1)

Це рівняння показує, що обсяг продукції на працівника У/L є функцією від капіталу на одного працівника К/L. ( "1" можна не брати до уваги). Припущення постійної віддачі від масштабу означає, що масштаби економіки, визначені через кількість працівників, не впливають на залежність між обсягом продукції на працівника та обсягом капіталу на працівника.

Оскільки масштаби економіки не мають значення у цьому аналізі, доречно виразити усі змінні в розрахунку на одного зайнятого. Так, у = Y/L — обсяг продукції на одного працівника, або продуктивність праці, і k = К/L — капітал на працівника, або капіталоозброєність. Виробничу функцію можна записати як:

y = f(k)

де f(k) = F(k, 1) На графіку 4-1 зображено цю виробничу функцію.

Нахил цієї виробничої функції показує, який додатковий обсяг продукції виробляє працівник, якщо обсяг капіталу зростає на одну одиницю. Цей обсяг продукції є граничним продуктом капіталу МРК. Математично можна записати:

MPK = f(k + 1) – f(k)

Завважте, що на графіку 4-1 зі збільшенням капіталу на працівника виробнича функція стає пологішою, відображаючи спадання граничного продукту капіталу. Коли обсяг капіталу на працівника k є невеликим, кожна додаткова одиниця

Графік 4-1. Виробнича функція. Виробнича функція показує, як обсяг капіталу на працівника к визначає обсяг продукції на працівника у = f(k). Нахил виробничої функції є граничним продуктом капіталу: якщо і зростає на одну одиницю, то у збільшується на МРК одиниць. Зі збільшенням к виробнича функція стає пологішою, вказуючи на спадання граничного продукту капіталу.

капіталу забезпечує значний приріст продукції. Коли обсяг капіталу на працівника k є високим, то додаткова одиниця капіталу дає менший приріст продукції.

Попит і функція споживання. В моделі Солоу попит на товари і послуги іде від споживання та інвестицій. Інакше кажучи, обсяг продукції на працівника у розподіляється між споживанням на працівника с та інвестиціями на працівника і:

y = c + i

Це рівняння є тотожністю національних рахунків для одного працівника. Завважте, що в ньому опущено державні закупівлі (які поки що можна не враховувати) та чистий експорт (припускаємо, що економіка закрита).

Модель Солоу припускає, що люди щорічно заощаджують частку 5 свого доходу і споживають частку (1 — s). Це припущення можна виразити за допомогою функції споживання у її найпростішій формі:

c = (1 – s)y

де s — рівень, або норма заощадження, приймає значення від 0 до 1. Пам'ятаймо, що заходи державної політики можуть істотно вплинути на рівень заощадження. Тому однією з наших цілей є виявлення бажаного для суспільства рівня заощадження. Однак поки що беремо рівень заощадження як даний.

Таке тлумачення функції споживання стане зрозумілим, якщо в тотожності національних рахунків замінити величину с величиною (1 — s)y:

y=(1–s)y+i

Після перетворення отримаємо:

i = sy

Це рівняння показує, що інвестиції дорівнюють заощадженням, що було доведено у розділі 3. Рівень заощадження s також показує, яка частина виробленого продукту спрямовується на інвестиції.

Ми запровадили дві основні складові моделі Солоу — виробничу функцію і функцію споживання, які описують економіку у певний момент часу. Для будь-якого даного значення k виробнича функція y = f(k) визначає обсяг продукції, що його виробляє економіка, а рівень заощадження s визначає розподіл цієї продукції між споживанням та інвестиціями.

Зростання обсягу капіталу і стаціонарний стан

Обсяг капіталу є ключовим визначником обсягу продукції, який виробляє економіка у будь-який момент часу. Однак з перебігом часу обсяг капіталу може змінюватися, що впливає на економічне зростання. На обсяг капіталу впливають два чинники: інвестиції та зношення, або амортизація. Інвестиції — це видатки на нові підприємства та устаткування, і вони збільшують обсяг капіталу. Розгляньмо обидва ці чинники.

Як уже зазначалось, інвестиції на працівника і дорівнюють sy. Підставляючи виробничу функцію замість y інвестиції на одного працівника можна виразити як функцію від капіталу на одного працівника

I = s f(k)