Рішення рівняння (4.8) методом Ейлерa

i	xi	yi	f(xi, yi)	hf(xi, yi)
0	0	0	0,05	0,05
1	1	0,05	0,0473	0,0473
2	2	0,0973	0,0446	0,0446
3	3	0,0143	0,0421	0,0421
4	4	0,184

Вирішення задачі – сукупність значень y (i=0,1,..,4).

Лабораторна робота №10. Чисельне інтегрування звичайних диференційних рівнянь модифікованим методом Ейлера

1. Мета роботи

Освоєння методу чисельного інтегрування звичайних диференційних рівнянь. Складання блок-схеми і програми на мові програмування Turbo C.

2. Теоретичні відомості

2.1. Модифікований метод Ейлера

На відміну від звичайного метода Ейлера в цьому методі використовується оцінка поведінки інтегральної кривої в наступних точках. Порядок побудови рішення в модифікованому методі Ейлера полягає в наступному.

Через точку Р_i(x_i,y_i)(рис. 4.3) проводиться дотичнаА₁з тангенсом кута нахилуf(x_i,y_i)до перетинання з ординатою в точціx=x_i+h/2(по методу Ейлера (4.6)). Одержуємо точку перетинанняВз координатами(x_i+h/2, y_i+h/2y_i'). Вираховуємо тангенс кута нахилу дотичної в цій точці:К_i=y_i'+1/2=f(x_i+h/2, y_i+h/2y_i'). Пряма з таким нахилом, яка проходить через точкуВ, позначенаА₂. Далі, через точкуР_і(x_i,y_i)проводимо прямуА₀, паралельнуА₂. Перетинання прямоїА₀з ординатоюх=х_і+1 і дає шукану точкуР_і+1(x_i+1,y_i+1).

Рівняння прямої А₀ можна записати:

y_i+1 = y_i + K_i  (x_i+1–x_i) = y_i + h  f(x_i+h/2, y_i+h/2y_i'). (4.9)

Формула (4.9) описує модифікований метод Ейлера. Інтегрування за модифікованим методом Ейлера міститься у послідовному застосуванні формул (4.6) (при h=h/2) і (4.9) до рівняння (4.3), починаючи зi=1. Цей метод є більш точним (другий порядок точності), ніж метод Ейлера, який має перший порядок точності.

Рис. 4.3. Графічна ілюстрація модифікованого методу Ейлера

ПРИКЛАД: Розв'язати модифікованим метод Ейлера рівняння (4.8) з початковою умовою y₀=0, на відрізку[0; 4], крокh=1. Результати обчислень заносимо у табл. 4.2

Таблиця 4.2

Рішення рівняння (4.8) модифікованим методом Ейлера

i	xi	yi	yi’=f(xi,yi)	xi+1/2= =xi+h/2	yi+1/2= yi+h/2yi’	y’i+1/2= f(xi +1/2, yi+1/2)	h y’i+1/2
0	0	0	0,05	0,5	0,025	0,0486	0,0486
1	1	0,0486	0,0473	1,5	0,0722	0,0459	0,0459
2	2	0,0945	0,0446	2,5	0,117	0,0434	0,0434
3	3	0,138	0,0421	3,5	0,159	0,0410	0,0410
4	4	0,179

Лабораторна робота №11. Чисельне інтегрування звичайних диференційних рівнянь методом Ейлера-Коши

1. Мета роботи

Освоєння методу чисельного інтегрування звичайних диференційних рівнянь. Складання блок-схеми і програми на мові програмування Turbo C.

2. Теоретичні відомості

2.1. Метод Ейлера-Коши

В цьому методі також використовується оцінка поведінки інтегральної кривої в послідуючих точках. Суть метода Ейлера-Коши полягає в наступному (дивись рис. 4.4).

Рис. 4.3. Графічна ілюстрація методу Ейлера-Коши

За допомогою метода Ейлера (4.6) відшукується точка А(x_i+h,y_i+hy_i'). Для чого в точціД(x_i,y_i) проводимо дотичнуL₁до перетинання з ординатою, яка відновлену в точціx_i+1=x_i+h. В точціАзнову обчислюється тангенс кута нахилу дотичної і проводиться дотичнаL₂. В точціАпроводимо пряму, тангенс кута нахилу якої є середнє арифметичне тангенсів кутів нахилу дотичнихL₁iL₂. Через точкуД(x_i,y_i)проводимо прямуL, паралельну. Точка, в котрій пряма перетне ординату, відновлену в точціx_i+1=x_i+hі буде шуканою точкою в(x_i+1, y_i+1). Формула метода Ейлера-Коши має наступний вигляд:

y_i+1=y_i+.(4.10)

Інтегрування по методу Ейлера-Коши полягає в послідовному застосуванні формул (4.6) i (4.10), починаючи з і=1. Спочатку, по (4.6) обчислюють приблизні значенняy_в. Потім, визначившиy_в, по (4.10) обчислюють шуканеy_i+1. Даний метод, також як і модифікований метод Ейлера, має другий порядок точності.

ПРИКЛАД: Користуючись методом Ейлера-Коши, розв'язати рівняння (4.8) з початковою умовою y₀=0, на відрізку [0; 4], крок h=1.

РІШЕННЯ: Результати обчислень приведенні в табл. 4.3.

Таблиця 4.3