58

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ХIМIКО-ТЕХНОЛОГIЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ

до лабораторних робіт

по курсу “Обчислювальна математика та програмування”.

Частина 2

Одеса – 2002

Методичні вказівки до лабораторних робіт по курсу “Обчислювальна математика та програмування” для студентів хіміко-технологічних спеціальностей.Частина 2 / В.І. Луговський, В.М. Білоус, В.В. Брем, О.В. Макаров, О.A. Борщ – Одеса: ОДПУ, 2002. – 58 с.

Укладачi:

доц. кафедри ТОФ, к.т.н. Луговський В. І., доц. кафедри ТОФ, к.х.н. Білоус В. М., доц. кафедри ТНРЕ, к.х.н. Брем В.В., інженер кафедри ТНРЕ Макаров О.В., інженер кафедри ТНРЕ Борщ О.A.

Відповідальний за випуск д.т.н., проф. Кожухар В.Я.

Затверджено методичною комісією хіміко-технологічного факультету ОДПУ

ЗМІСТ

Тема I. Методи рішення нелінійних рівнянь 5

Лабораторна робота №1. Уточнення коренів нелінійного рівняння методом ділення відрізка наполовину 5

Лабораторна робота №2. Уточнення коренів нелінійного рівняння методом Ньютона (дотичних) 8

Лабораторна робота №3. Уточнення коренів нелінійного рівняння методом хорд (січних) 10

Лабораторна робота №4. Уточнення коренів нелінійного рівняння методом ітерацій (метод послідовних приближень) 12

Структура програми на мові програмування Turbo C 14

Порядок виконання лабораторних робіт №№ 1–4 16

Індивідуальні завдання 17

Контрольні запитання 18

Тема iІ. Чисельне рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь 18

Лабораторна робота №5. Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гауса 18

Лабораторна робота №6. Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Зейделя 26

Порядок виконання лабораторних робіт №№ 5, 6 31

Опис програмного комплексу gz.exe 31

Індивідуальні завдання 31

Контрольні запитання 33

Тема III. Методи чисельного інтегрування 34

Лабораторна робота №7. Обчислення визначеного інтеграла методом трапецій 34

Лабораторна робота №8. Обчислення визначеного інтеграла методом Сімпсона 36

Порядок виконання лабораторних робіт №№ 7, 8 42

Індивідуальні завдання 42

Контрольні запитання 43

Тема IV. Методи чисельного інтегрування звичайних диференційних рівнянь 44

Лабораторна робота №9. Чисельне інтегрування звичайних диференційних рівнянь методом Ейлера 44

Лабораторна робота №10. Чисельне інтегрування звичайних диференційних рівнянь модифікованим методом Ейлера 47

Лабораторна робота №11. Чисельне інтегрування звичайних диференційних рівнянь методом Ейлера-Коши 49

Лабораторна робота №12. Чисельне інтегрування звичайних диференційних рівнянь методом прогнозу та корекції 51

Порядок виконання лабораторних робіт №№ 10 – 12 55

Індивідуальні завдання 56

Контрольні запитання 57

Перелік рекомендованої літератури 58

Тема I. Методи рішення нелінійних рівнянь Лабораторна робота №1. Уточнення коренів нелінійного рівняння методом ділення відрізка наполовину

1. Мета роботи

Вивчення методу рішення нелінійних рівнянь. Складання програми на мові програмування Turbo C.

2. Теоретичні відомості

Будь-яке рівняння з одним невідомим може бути записане у вигляді

f(x) = 0, (1.1)

де f(x)– деяка функція аргументуx.

Рішення рівняння (1.1) полягає в тому, щоб знайти такі значення аргументу х, при підстановці яких воно зверталось би у тотожність. Це значення незалежної змінної зветься коренем рівняння.

Обчислювання коренів алгебраїчних та трансцендентних рівнянь вигляду (1.1) складається з декількох етапів. Спочатку визначають, які корні треба знайти, наприклад, тільки дійсні чи тільки додатні і т.п. Потім визначають області, які містять по одному кореню рівняння (1.1) – відділення коренів. Далі застосовують який-небудь обчислювальний алгоритм, знаходять виділений корінь з потрібною точністю – уточнення (обчислювання) коренів. На заключному етапі проводиться перевірка отриманих результатів.

2.1. Відділення коренів

При рішенні інженерних задач відділення коренів і оцінка початкового приближення кореня рівняння (1.1) часто проводиться виходячи з фізичного смислу. Наприклад, при розрахунку густини вуглеводних сумішей відомо, що найменшій корінь відповідає гущині парової фази, а найбільшій – гущині рідини.

Відділення коренів може проводитися шляхом аналізу функції f(x) та її похідних, чи шляхом графічного побудування залежностіy=f(x).

В основі першого способу використовується наступне положення: якщо на кінцях деякого інтервалу змінювання аргументу хнеперервна і монотонна функціяf(x)приймає різні знаки, то на інтервалі, що розглядається, знаходиться дійсний корінь рівняння (1.1). Другий спосіб полягає в тім, що будується графік функції та визначаються точки його перехрещення з віссю абсцис, які з точністю побудування графіку відповідають кореням рівнянняf(x)=0.

2.2. Метод ділення відрізка наполовину

Після того, як знайдено приблизне значення кореня чи визначені межі його розташування, чисельними методами можна обчислити корінь з різною ступеню приближення до точного рішення.

Простішим та надійним алгоритмом уточнення кореня на відрізку [a,b], якщо f(x)– неперервна функція таf(a)f(b)<0, є метод ділення відрізку пополам.

Графічна інтерпретація та блок-схема методу ділення відрізку наполовину приведені на рис. 1.1 та 1.2. Дійсно, що середина відрізка служить приближенням до кореня рівняння (1.1) з точністю <(b–a)/2. У середині відрізках₁=(a+b)/2визначається знак функціїf(х₁), потім вибирається та половина відрізку, на кінцях якої функціяf(x)приймає значення різних знаків, та ділення повторюється. Якщо потрібно знайти корінь з точністю, то ділення відрізка наполовину продовжується до тих пір, доки довжина відрізку не стане менше2. Тоді середина останнього відрізку дає значення кореня з необхідною точністю.

Рис. 1.1. Графічна інтерпретація методу ділення відрізку наполовину

Цей метод має відносно невисоку швидкість сходження і при обчислюванні кореня з високою точністю потребує значного об'єму обчислювань. Тому він частіше всього використовується для відділення коренів, тобто грубого пошуку, для уточнення коренів приймається більш ефективні методи.

ПРИКЛАД: Методом ділення відрізка наполовину уточнити корінь рівняння:

f(x)=x⁴+x²–x–0,6=0,

який знаходиться в інтервалі [0,5;1,3], з точністю =0,15.

Рис.1.2. Блок-схема методу ділення відрізку наполовину

Визначимо значення функції f(x)на кінцях інтервалу:f(0,5) = – 0,79;f(1,3)=5,35. Тодіf(0,5)  f(1,3) <0; отже корінь рівняння знаходиться у цьому інтервалі. Поділимо відрізок наполовинух₁=(0,5+1,3)/2=0,9і визначимо значення функції у знайденої точці –f(0,9)=0,61. Так якf(0,5)f(0,9)<0, тоді вибираємо інтервал [0,5;0,9]. Поділив новий інтервал наполовину, отримаємох₂=0,7іf(0,7)=–0,4. Отже корінь рівняння знаходиться в інтервалі [0,7;0,9]. Так як довжина відрізка менш 2, то середина дає значення кореняx = 0,8.