Лабораторна робота №2. Уточнення коренів нелінійного рівняння методом Ньютона (дотичних)

1. Мета роботи

Вивчення методу рішення нелінійних рівнянь. Складання програми на мові програмування Turbo C.

2. Теоретичні відомості

Метод Ньютона вживають до рішення рівняння f(x)=0, деf(x) безперервно-диференційована функція. Для початку обчислювань потребується завдання початкового приближенняx₀. Подальші приближення обчислюються по формулі

х_n+1 = x_n – ,

f '(x_n)0, n=0,1,2,3...(1.2)

Рис 1.3. Графічна інтерпретація методу дотичних (Ньютона)

Рис. 1.4. Блок-схема методу дотичних (Ньютона)

Геометрично x_n+1являється значенням абсциси точки перехрещення дотичної з кривоюу=f(х)у точці(x_n; f(x_n))з віссю абсцис, тому метод Ньютону називають також методом дотичних. Графічна інтерпретація та блок-схема методу дотичних (Ньютона) приведені на рис. 1.3 та 1.4.

У якості навчального приближення треба вибирати ту граничну точку інтервалу, для якої знак f(x)збігається зі знаком другої похідної. У противному випадку у якості наступного приближення можна отримати значення аргументу, розташоване за межами інтервалу [а,b], та може відбутися, що процес не буде сходитися.

ПРИКЛАД: При розрахунку апарату однократного випаровування для обчислювання температури, що потребується, необхідно визначити наступне рівняння:

0,01Т ³–4Т ²+180Т+8160=0.

З фізичного смислу виходить, що шукана температура (корінь рівняння) знаходиться у інтервалі 330–360 К. Визначити її методом Ньютону з точністю =0,5К.

Для розрахунку по (1.2) необхідно знайти першу похідну:

f '(x)=0,03Т²–8Т+180.

Для вибору початкового приближення перевіримо знаки функції та її другої похідної. В точці x=360 f(x)=21120>0,f''(x)=0,06Т –8=3,6>0; відповідно, цю точку можна використовувати у якості початкового приближення.

Використовуємо (1.2) та послідовно обчислюємо

x₁=x₀ – (f(x₀)/f '(x₀))=360–(21120/1188)=342,22

x₂=x₁ – (f(x₁)/f '(x₁))=342,22–(2093/955,7)=340,03 |x₂ – x₁|>

x₃=x₂ – (f(x₂)/f '(x₂))=340,03–(2909/928,4)=340 |x₃ – x₂|<

Відповідь: Т=340К.

Лабораторна робота №3. Уточнення коренів нелінійного рівняння методом хорд (січних)

1. Мета роботи

Вивчення методу рішення нелінійних рівнянь. Складання програми на мові програмування Turbo C.

2. Теоретичні відомості

У методі Ньютона на кожному кроці треба обчислювати значення функції та похідної. На практиці частіше використовують методи, які потребують обчислювання тільки значення функцій. Одним з таких методів являється метод хорд.

Рис. 1.5. Графічна інтерпретація методу січних

Рис. 1.6. Блок-схема методу січних

Цей метод засновано на допущені, що на досить малому відрізку функція y=f(x)змінюється лінійно. Тоді кривуy=f(x)на цьому відрізку можна змінити хордою та у якості приближеного значення кореню прийняти точку перехрещення хорди з віссю абсцис. Графічна інтерпретація та блок-схема методу доведені на рис. 1.5 та 1.6.

Проведемо пряму крізь точку з координатами (a, f(a); b, f(b)), (деатаb– границі інтервалу, який містить корінь), знайдемо точку перехрещення цієї прямої з віссю абсцис.

x₁= a – (1.3)

Знайдене значення х₁можна приймати за нову (ліву чи праву – в залежності від знакуf(x₁)границю інтервалу, що скорочується. Знайшовши значенняf(x₁)приближення визначається виразом

|x_n+1 – x_n| <e,

де e– задана точність.

Формула (1.3) описує метод січних. Цей метод швидко збігається в особливості для функцій, які мають невелику кривизну.

ПРИКЛАД: Для визначення концентрацій компоненту на тарілці ректифікаційної колони необхідно вирішити наступне рівняння:

х³ – 0,4x² + 0,9x – 0,36 = 0

Шукана величина лежить в інтервалі (0,2;0,5). Визначити її з точністю =0,0005.

Обчислимо значення функції на кінцях інтервалу:

f(0,2) = –0,188; f(0,5) = 0,115.

По формулі (1.3) знайдемо значення х:

x₁=0,2 – = 0,386

Потім визначимо f(x). Так якf(x₁)=–0,015, то корінь рівняння лежить у інтервалі [0,386; 0,5]. Знайдемо наступне приближеннях₂:

x₂=0,386 – = 0,399

Так як |х₂ – х₁|>, то повторимо процедуру. Значенняf(x₂)= –0,0011таx₃=0,4.

Оскільки |х₃ – х₂|<, то рішення знайдене.

Відповідь: х=0,4.