Контрольні запитання

1. Методи вирішення систем лінійних рівнянь.

2. Точні методи рішення систем лінійних рівнянь. Метод Крамера.

3. Рішення систем лінійних рівнянь методом Гауса. Загальний алгоритм методу.

4. Метод Гауса. Алгоритм і блок-схема послідовного виключення невідомих.

5. Метод Гауса. Алгоритм і блок-схема знаходження значень невідомих (зворотна підстановка).

6. Метод Гауса. Алгоритм і блок-схема визначення найбільшого коефіцієнту при хі перестановки рівнянь.

7. Ітераційні методи. Метод простої ітерації.

8. Умова збіжності ітераційних методів. Елементарні перетворення.

9. Вибір початкового приближення для ітераційних методів. Умова завершення ітераційного процесу.

10. Метод Зейделя. Алгоритм і блок-схема методу.

Тема III. Методи чисельного інтегрування Лабораторна робота №7. Обчислення визначеного інтеграла методом трапецій

1. Мета роботи

Освоєння методу трапецій, як методу обчислення визначеного інтегралу. Складання програми на мові програмування Turbo C.

2. Теоретичні відомості

Чисельне інтегрування – це обчислення визначеного інтеграла по ряду чисельних значень підінтегральної функції.

Потрібно обчислити визначений інтеграл

І =(3.1)

за умовою, що aіb– кінцеві таf(x)є безперервною функцієюхна всьому інтерваліa  х  b.

Загальний підхід до рішення задачі такий. Визначений інтеграл Iявляє собою площу, що обмежена кривоюf(x), віссюОхта ординатами у точкахх=aіx=b.

Ми будемо обчислювати I, розбиваючи інтервал відaдоbна безліч менших інтервалів, находити приблизно площу кожної “смуги”, яка виходить при такому роздроблені та підсумовувати площі цих смуг.

Чим менше інтервал роздроблення, тим точніше буде обчислена інтегральна сума. Проте, при цьому, значно збільшиться кількість обчислень. Тому на практиці доводиться обмежуватись кінцевим роздробленням інтервалу інтегрування функції, допускаючи при цьому деяку помилку.

Різноманітність методів чисельного інтегрування обумовлено стратегією вибору точок роздроблення, яка забезпечує у кожному конкретному випадку мінімально можливу помилку. Можливо два способи вибору точок роздроблення вихідного інтервалу. Перший спосіб – число інтервалів фіксують заздалегідь, другий – число та розміри інтервалів визначаються у процесі обчислення інтегралу, виходячи з вимог заданої точності. В обох випадках вихідна функція на кожному інтервалі апроксимується відповідно залежності, наприклад, лінійної або квадратичної.

2.1. Метод трапецій

Метод трапецій засновано на тому, що графік підінтегральної функції на кожному відрізку роздроблення замінюється стягуючою його хордою, та площа, обмежена інтервалом роздроблення замінюється площею трапеції (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Геометричне представлення формули трапеції

Тоді для інтегралу на інтервалі [x_i-1;x_i] можливо записати:

, (3.2)

де права частина є площа трапеції.

Якщо (x_i–x_i–1)=(b–a)/n=h, тоді для визначеного інтеграла виходить таке приблизне значення:

=

= (3.3)

або

(3.4)

де h = (b–a)/n.

Формула (3.4) називається формулою трапеції для чисельного інтегрування. Для користування нею необхідно знати значення підінтегральної функції у точках x_о, x₁, x₂ ... x_n. Якщо підінтегральна функція задана графічно, тоді ці значення зчитуються з креслення, а якщо вона задається аналітично, тодіf(x_o), f(x₁),..., f(x_n)знаходяться шляхом підстановки у підінтегральну функцію абсцисx_о, x_1,..., x_n.

Блок-схема методу приведена на рис. 3.2.