Лабораторна робота №8. Обчислення визначеного інтеграла методом Сімпсона

1. Мета роботи

Освоєння методу Сімпсона, як методу обчислення визначеного інтегралу. Складання програми на мові програмування Turbo C.

2. Теоретичні відомості

2.1. Метод Сімпсона

Метод Сімпсона являє собою один з найбільш поширених методів чисельного інтегрування. На відмінну від попереднього метода підінтегральна функція апроксимується у межах двох прилеглих інтервалів роздроблення квадратичною залежністю, оскільки для обчислення коефіцієнтів параболи необхідно мати три значення функції. Число інтервалів роздроблення при цьому потрібно бути парним.

Розіб'ємо інтервал [a,b] на парне числоn=2kпроміжків рівної довжиниhточкамиx_о=а; x₁; x_2;;...x_2n–1; x_2n=b. Розглянемо два прилеглих інтервали роздроблення [x_i–1; x_i] та [x_i; x_i+1], кожний з котрих має довжинуh=(b–a)/n. Проведемо у точкахx_i–1; x_i; x_i+1ординати до перетинання з кривоюy=f(x)у точкахM_i-1; M_i; M_i+1. Через ці точки проводиться парабола з віссю, паралельною осі ординатOy(рис. 3.3). Для площі, обмеженої параболою на інтервалі [x_i–1;x_i+1] можливо записати:

Аналогічно, для наступного інтервалу [x_i+1;x_i+3], одержимо:

Рис. 3.2. Блок-схема методу трапецій

Рис. 3.3. Геометричне представлення формули парабол

Якщо подібну операцію провести для кожної трійки точок, починаючи з [x_o;x₂] та закінчуючи [x_n–2;x_n], тобто замінив графік вихідної функціїf(x)параболами, а потім складаючи почленно одержані формули, тоді наприкінці одержимо формулу Сімпсона:

(3.5)

Помітимо, що в одержаній сумі елементи з коефіцієнтом 4 відповідають непарним точкам, а елементи з коефіцієнтом 2 – парним точкам.

Блок-схема методу приведена на рис. 3.4.

2.2. Оцінка точності формул чисельного інтегрування. Вибір кроку інтегрування

Будь-яка формула інтегрування дозволяє обчислити лише приблизне значення інтеграла. Тому можливо записати:

(3.6)

де R– похибка формули інтегрування, що використовується.

Рис. 3.4. Блок-схема методу Сімпсона

Явно, помилка формули залежить від розміру шагу інтегрування, а також від класу підінтегральної функції. Чим менше шаг інтегрування, тим менше помилка R. Розмір кроку інтегрування залежить від заданої точності обчислень та обраної формули інтегрування.

2.3. Вибір кроку інтегрування за оцінкою остаточного члена (помилки)

Обчислити оцінку помилки можливо таким способом. Необхідно одержати точне значення інтегралу та порівняти з приблизним, обчисленим за відповідною формулою. Похибку формули доцільно оцінювати, використовуючи наступну, більш високу ступінь підінтегральної функції, чим та, для котрої вона надає точне значення інтеграла. Для формул прямокутників та трапецій це буде функція виду y=x²; для формул Сімпсона –y=x⁴ і т.п.

Після того, як проведена оцінка значення помилки (R), крок інтегрування вибирається так, щоб виконувалась така нерівність:

|R_max| <0,5, (3.7)

де |R_max| – максимальне значення остаточного члена.

Відповідно, розмір шагу hповинен вибиратися так, щоб при максимальному значенні похідної виконувалась приведена умова (3.7).

Для формул трапецій:

|R_max|(3.8)

Для формули Сімпсона:

|R_max|(3.9)

2.4. Вибір кроку інтегрування за допомогою подвійного перерахунку

Тому що визначення кроку інтегрування за розміром остаточного члена призводить до громіздких обчислень, можливо використати наступний прийом.

За вибраною формулою (методом) інтеграл обчислюється два рази: спочатку з якимось кроком h, а потім з крокомh/2, тобто подвоюють числоn. Позначимо наслідок обчислень якI_n іI_2nта порівняємо їх.

Якщо |I_n–I_2n|<, де– допустима похибка, то вважають, щоI_n=I_2n. Якщо |I_n–I_2n| >, тоді розрахунок повторюють з крокомh/4та порівнюють |I_2n–I_4n| і т.п.

У ролі початкового кроку можливо рекомендувати

h= ,

де: n=2– для формули трапецій,n=4– для формули Сімпсона.

ПРИКЛАД: За допомогою формули Сімпсона обчислити з точністю=10 ^–2.

Визначимо: h = .При використанні формули Сімпсона число частинnповинно бути парним, тобто відрізок [ ] треба розбити на парне число рівних частин.

  ,

n=0,8,.

n = 3нам не підходитьвибираємо парне значенняn = 4.

Тоді :

h ==

Перевіряємо :

 n

In	I2n	Xi	хi, (рад)	sin x i	y0, y2n	y2i+1	y2i
0	0	 /4	0,7854	0,7071	0,9003
	1	9/32	0,8836	0,7735		0,8754
1	2	10/32	0,9817	0,8323			0,8478
	3	11/32	1,0799	0,8816		0,8164
2	4	12/32	1,1781	0,9239			0,7842
	5	13 /32	1,2763	0,9572		0,7500
3	6	14/32	1,3744	0,9805			0,7134
	7	15/32	1,4726	0,9951		0,6757
4	8	16 / 32	1,5708	1,00	0,6366

Примітка: sin xможна знайти, якщо перевести значенняу градуси або в радіани.

1. Для переведення у градуси : 180⁰ ;  = 45⁰ ;  = 11⁰15^’.

2. Для переведення у радіани :  = 3,1416 ;  = 3,1416 / 4 = 0,7854…

По формулі Сімпсона при n=4іh=знаходимо :

I₄  [ (y₀ + y₄ ) + 4 ( y₁ + y₃ ) + 2 y₂ ] = [(0,9003 + 0,6366 )+ 4 (0,8478+ + 0,7134 ) + 2 0,7842 ] = 0,0654 (1,5369 + 6,2448 + 1,5684) = 0,61196.

Тепер проведемо розрахунок при n=8таh=

По формулі Сімпсона при цих значеннях отримаємо:

I₈  [(0,9003 + 0,6366 ) + 4(0,8754 + 0,8164 + 0,6757) + 2 (0,8478 +

0,7842 + 0,7134)] = 0,0982  (1,5369 + 12,47 + 4,6908 ) = 0,61188.

Визначимо

I₄ –I₈  = 0,61196 – 0,61188= 0,00008  10^–2/2.

Таким чином, значення інтеграла дорівнює

I= 0,612.