43

На комплексную плоскость наносят карту нулей и полюсов функций К(р) и Т(р) на основании полиномов P1(p), P2(p), Q1(p) и Q2(p). Возвратное отношение системы K ( p)T ( p) = F ( p) в общем виде можно записать:

или

N( p) = ( p − p1)( p − p2 )L( p − pn ) − K0 [( p − p10 )( p − p20 )L( p − pm )]= 0.

Из этого выражения следует, что корни характеристического уравнения системы, полюсы функции Н(р) зависят от значения К0. Например, если К0 → 0, корни приближаются по значениям к р1, р2, …, рn, т. е. полюсы передаточной функции Н(р) совпадают с полюсами возвратного отношения F(р). При увеличении К0 → ∞ корни характеристического уравнения Н(р) приближаются по значениям к, р10, р20, …, рm, соответствующим нулям возвратного отношения системы.

Более подробно о практическом применении критерия корневого метода можно прочитать в соответствующей литературе [6].

2.7 Условие стационарности автоколебаний

Система с обратной связью является автоколебательной схемой, если на ее выходе появляются периодические колебания, при отсутствии воздействия. Все автоколебательные схемы являются безусловно нелинейными системами, но условия стационарности (условия возбуждения) могут быть найдены на основе линейной теории. В автоколебательном режиме передаточная функция замкнутой системы Н(р) → ∞ из условия, что U1(p) = 0 и корни характеристического уравнения N(р) = 0 располагаются в правой полуплоскости с вещест-

венными положительными частями pi = +σi ± jωi . Причем, система начнет

44

генерировать, если функция Н(р) имеет хотя бы пару комплексно сопряженных полюсов на мнимой оси комплексной плоскости, а остальные полюсы, если они имеются, могут лежать в левой полуплоскости.

Автоколебательные свойства системы определяются структурой передаточных функций К(р) и Т(р), картой их нулей и полюсов, а также знаком обратной связи.

Для анализа условий возбуждения можно использовать любой критерий устойчивости. Оптимальным по мнению некоторых авторов является критерий корневого годографа, с помощью которого определяется условие неустойчивости системы, вид возникающих автоколебаний (гармонических или импульсных). Условие стационарности находят из выражения N(р) = 0 для нагруженной системы. Выражение N(р) можно представить в алгебраической форме:

N( jω) = Re[N( jω)]+ j Im[N( jω)]= A(ω)+ jB(ω)

и тогда

А(ω) = 0 и В(ω) = 0.

Эти последние два равенства называют условием баланса амплитуд (А(ω) = 0) и фаз (В(ω) = 0). Из этих условий находят значения частоты ω и усиления усилителя К.