Операторный метод расчета ПП в ЛЭЦ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Модуль 3.pdf

Скачиваний:

133

Добавлен:

10.02.2016

Размер:

1.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Рисунок 6.1 – Исследуемая цепь

u2 (t) = 2e

u2 (t) = 2e

+ 0,0204 1

		R1			Задача 6. В цепи (рис. 6.1) срабатывает
+					ключ К в момент времени t = 0 и вводит
+					ключ К в момент времени t = 0 и вводит
	E = const			L	резистор	R2.	Операторным	методом
	E = const			L	определить iL(t) при t ≥ 0, если известны E,
		R2	iL(t)		R1, R2, L. Построить график iL(t).

Решение:

1) Цепь рис. 6.1 рассматривается в старом стационарном режиме (t < 0), рис. 6.2.

Так как в цепи действует источник постоянного напряжения Е, то сопротивление индуктивности эквивалентно нулю и ток в этом случае можно записать:

	R1
	+
E	L
	iL(0_ )
Рисунок6.2 – Эквивалентная
	схема замещения цепи
	до коммутации

	R1
+ E / p	IL(p)
	pL

LiL(0–)

R2 +

Рисунок 6.3 – Операторнаясхема замещенияцепи

дроби разделим на L.

iL (0−) =	E	–	ненулевое начальное
	R1
условие.

2)Составим операторную схему замещения (цепь рассматриваем после коммутации), рис. 6.3.

3)По закону Ома определим изображение тока индуктивности:

	E	+ LiL (0−)		E + pL iL (0−)
IL ( p) =	p		=	E + pL iL (0−)	.
IL ( p) =	R1 + R2 + pL		=	p[pL +(R1 + R2 )]	.
	R1 + R2 + pL			p[pL +(R1 + R2 )]

4) Используя таблицу соответствий по Лапласу, определим оригинал iL(t). Для этого изображение IL(р) представим в виде суммы изображений:

IL ( p) =		E		+	LiL (0−)			.
		p[pL +(R1	+ R2 )]		[pL +(R1	+ R2 )]

Чтобы		получить	изображение табличного
вида,	числитель		и знаменатель				каждой

IL ( p) =

iL (0−)

(R1 + R2 )

p p

p +

Так как iL (0− ) =

, то

IL ( p) =

(R1

+ R2 )

(R1 + R2 )

p p +

M ( p)

Изображение тока индуктивности представлено в виде суммы изображений. Оригинал iL(t) будет определяться как сумма оригиналов, соответствующих каждому изображению:

iL (t) =

− e

−

( R1+R2 )t

) +

−

( R1+R2 )t

L (R1

+ R2 )

−

−( R1+R2 )t

−

( R1+R2 )t

(6.1)

+ R

R + R

−( R1+R2 )t

+ (

−

L .

+ R

R (R

+ R )

Проверка. Положим t = 0–, что соответ-

ствует начальным условиям, рис. 6.2.

iL (0−) =

ER2

+ R2

(R1

+ R2 )

Положим t → ∞, что соответствует

новому стационарному режиму, рис. 6.4.

iLпр

R1 + R2

ПР

Рисунок 6.4 – Эквивалентная

iL(t),

Построим

примерный

график

схема замещения цепи в НСР

iL(t)

рис. 6.5, где τ =

R + R .

E / R1

Пункт 4 (определение оригинала)

можно выполнить, используя теорему

разложения. Полученное в пункте 3

изображение

тока

индуктивности

имеет

R1 + R2

нулевой корень в знаменателе. Поэтому

t / τ

при определении

оригинала используем

Рисунок6.5 – Примерная временная

выражение (2.24):

диаграмма тока индуктивности

					E + pL	E
IL ( p) =	E + pL i	L	(0)	=		R	,

						1
	p[pL +(R1	+ R2 )]			p[ pL +(R1	+ R2 )]

т. е. IL ( p) = pN1( p) .

Знаменатель имеет корни:

p = 0 и	p	= −	R1 + R2	.

0	1		L

Производная N/1(p) = L;

M (0)

(0)

тогда:

+ R

E +

−

(R +R )

−

(t) =

+ R

(−

+ R2

+ R

(6.2)

ER − ER − ER

−

( R1+R2 )t

−

(R1+R2 )t

− R (R + R )

+ R

R (R + R )

Выражение (6.1) и (6.2) совпадают, таким образом, результат решения

задачи не зависит от способа ее решения.

Задача 7. Для цепи (рис. 7.1)

составить уравнения по методу узловых

напряжений в операторной форме.

U = const

Решение:

Это пример цепи с ненулевыми начальными условиями. Для определения начальных условий рассмотрим цепь в старом стационарном режиме , рис. 7.2.

Ток индуктивности (в цепи):

iL (0− ) = + U + ,

R1 R2 R3

напряжение емкости:

uC (0− ) =iL (0− ) R2 .

Таким образом, операторная схема замещения для заданной цепи имеет вид, рис. 7.3.

Цепь рис. 7.3 содержит два неустранимых узла. Выбрав в качестве базисного узла 0-ой, составим уравнение по методу узловых напряжений для узла 1. В общем виде:

U10 ( p) Y11 ( p) = J11 ( p),

и для искомой цепи

			1			1		U
U			1		+ pC +	1	=	U

		( p)	R +	pL		R		p
	10		R +	pL		R		p
			1			2

Рисунок 7.1 – Исследуемая цепь

iL(0–)

uC(0–)

Рисунок 7.2 – Эквивалентная схема

замещения цепи до коммутации

IL(p

) R1

LiL(0–)

I2(p)

U / p

1/ pС

uC (0−)

IC(p)

Рисунок 7.3 – Операторная схема замещения цепи

+ Li					1	+ uC (0−)	pC.
		(0		)	1
		(0		)	(R + pL)
	L		−		(R + pL)	p
					1

		Задача 8. Переходная функция цепи
i(t)	L	Для цепи (рис. 8.1) определить
		Для цепи (рис. 8.1) определить
		переходную функцию напряжения huu(t) и
u1(t)	R	u2(t) построить график.

Рисунок 8.1 – Исследуемая цепь

	I(p) рL
U1(p)	R	U2(p)
U1(p)		U2(p)
	Рисунок 8.2 – Цепь в
	операторном виде

Решение:

1 По определению переходной функции,

если

u1(t) = 1(t), то u2(t) ≡ h(t).

2 Переходную функцию найдем операторным методом. Для этого изобразим операторную схему замещения для цепи рис. 8.1 учитывая, что начальные условия нулевые, рис. 8.2.

3 Изображение единичной функции 1(t): u1 (t) ≡1(t) ↔U1 ( p) = 1p .

4 По закону Ома изображение напряжения на выходе четырехполюсника равно:

U2 ( p) = I ( p)R,

где		1/ p
	I ( p) =	1/ p			.
Тогда:	I ( p) =	R + pL			.
		R + pL
	R			R	1
U2 ( p) =	R		=	R	1		.
U2 ( p) =	p(R + pL)		=	L		R	.
	p(R + pL)			L		R
					p p +
						L

5 Оригинал u2(t) найдем по таблице Лапласа:

				R
huu(t)	h(t) ≡u2 (t) =1 − e−				t .		(7.1)
				L
1		5 Примерный график					переходной
	характеристики цепи h(t) по (7.1), рис. 8.3.
		Следует отметить, что рассматривае-
	мая	цепь	рис.			8.1	является
t	интегрирующей цепью, для которой в
0	разделе „Комплексная					передаточная
Рисунок 8.3 – Переходная	функция цепи” представлен график АЧХ.
характеристика цепи	Из	сравнения	графиков				переходной

характеристики и АЧХ можно записать: huu (0) = H (∞) ,

huu (∞) = H (0) .

Доказано, что для любой ЛЭЦ первого порядка переходная характеристика h(t) и частотная Н(ω) имеют взаимообратный характер.

Задача 9. Операторная передаточная функция цепи

Заданы операторная передаточная функция
Заданы операторная передаточная функция
напряжения цепи рис. 9.1					u1(t)		ЛЭЦ	u2(t)
Huu ( p) =	b1 p	и			изображение
	b1 p
	p + a0
	p + a0		U			Рисунок 9.1 – Исследуемая
						Рисунок 9.1 – Исследуемая
воздействия u1 (t) ↔U1		( p) =		.			цепь
воздействия u1 (t) ↔U1		( p) =		.			цепь
			p

Определить отклик цепи u2(t) и построить график u2(t).

Решение:

1 Определим изображение U2(p) отклика цепи u2(t):

U2 ( p) =U1( p) Huu

( p) = U

b1 p

U b1

(9.1)

2 Перейдем от изображения (9.1)

p p + a0

p + a0

u2(t)

оригиналу

u2(t),

используя таблицу

U b1

преобразования Лапласа:

( p) =

U b1

↔U b e−a0t =u

(t) . (9.2)

p + a0

3 Согласно (9.2) построим примерный

график u2(t), рис. 9.2.

Рисунок 9.2 – Временная диаграмма отклика

Задача 10. Импульсная функция цепи

Для цепи рис. 8.1 определить импульсную функцию напряжения guu(t) и построить ее график.

Решение:

1 Для определения импульсной функции цепи используем ее переходную

				R
функцию, определенную в задаче 8: huu (t) =1 − e			−			t	, а	′
				L
								guu (t) = huu (t) + h(0) .
2 Продифференцируем выражение переходной функции:
′	R −Rt				.			(1)
huu (t) = e		L

Произведем

нормирование

импульсной

функции

gˆ (t) = τ g(t) =

e−t / τ = e−t / τ .

3 По этому выражению построим

gˆuu (t / τ)

примерный график импульсной характерис-

тики цепи gˆuu (t) , задавая значения: t/τ = 0, 1,

2…, рис. 10.1.

Примечание. Задачи 9 и 10 можно также

операторную

решить,

используя

1 2

t/τ

передаточную функцию H(p), особенно если

она зарание

известна для

анализируемой

Рисунок

10.1–

Импульсная

цепи. В

таких случаях, определяют

характеристика цепи

изображение переходной функции:

h(t) ↔ H ( p)

а затем от изображения переходят к оригиналу h(t) известными способами. Изображением импульсной функции является операторная функция

(раздел 2.5):

g(t) ↔ H ( p) .

От изображения переходят к оригиналу, определяя таким образом импульсную функцию цепи g(t). Импульсную функцию следует нормировать, а затем строить характеристику.

Задача 11. Определение отклика методом наложения

На вход цепи рис. 11.1 подается напряжение uвх(t) (рис. 11.2).

U , 0 ≤t <t ;

u(t) =

12U , t1 ≤t < 2t1;0, ≥ 2t1.t 1

			2U	uвх(t)
	R		2U
	R
uвх(t)	L	uвых(t)	U
uвх(t)	L	uвых(t)			t
					t
			0	t1	2t1
Рисунок 11.1 – Исследуемая			Рисунок 11.2 – Функция
	цепь			воздействия

Требуется: 1) определить отклик uвых(t) методом наложения; 2) построить график uвых(t).

Решение

1 Входное напряжение uвх(t) можно с помощью единичной функции 1(t) представить в виде трех ступенчатых составляющих (рис. 11.3):

u1 (t) =u1(1) + u1(2) + u1(3) =U 1(t) +U 1(t −t1 ) − 2U 1(t − 2t1 ).

2 Отклик цепи на эти три составляющие воздействия соответственно равен: u2 (t) =U huu (t), для 0 ≤t <t1 ;

u2 (t) =U huu (t) +U huu (t −t1 ), для t ≤t < 2t1 ;

u3 (t) =U huu (t) +U huu (t −t1 ) − 2U huu (t − 2t1 ), для t ≥ 2t1 ,

u(1)	(t)
1
U
0			t
0	t1	2t1
	t1	2t1
u(2)	(t)
1
U
0			t
0	t1	2t1
	t1	2t1
u(3)	(t)
1
	t1	2t	t
		1	t

–U

– 2U

Рисунок 11.3 – Разложение функции воздействия на три составляющие

где huu(t) – переходная функция напряжения цепи;

huu(t – t1) – переходная функция напряжения цепи, сдвинутая на время t1;

huu(t – 2 t1) – переходная функция напряжения цепи, сдвинутая на время

2t1.

3 Определим переходную функцию напряжения цепи операторным методом:

huu (t) ↔ 1p Huu ( p) .

Для этого необходимо определить операторную передаточную функцию напряжения цепи Huu(p):

Huu ( p) =

U2 ( p)

I ( p) pL

U1 ( p)

I ( p)( pL + R)

pL + R

p +

Тогда:

h(t) ↔

(11.1)

p p +

p +

−Rt

Изображению (11.1) в таблице Лапласа соответствует оригинал e L .

Таким образом:

	−	R	t		−	t
h(t) = e		L		= e		τ ,

где τ – постоянная времени цепи RL: τ = RL .

4 Зададим следующие численные значения для этой цепи: R =10 Ом, L = 0,1Гн, U =10B , t1 =10e−2 c . Отклик цепи ищем отдельно на каждом из интервалов непрерывности воздействия u1(t):

1) 0 ≤t <t1 :

														u2 (t) =10 e−102 t ,B ,	(11.2)
при t = 0 имеем u2 (0) =10B,
при t = t1 имеем u									2	(t		) =10е−102 10−2 =10e−1 =3,67 B .
									2		1
2) 0 ≤t <t1 :
												u	2	(t ) =10е−102 t +10е−102 (t−10−2 ) ,B ,	(11.3)
													2	1
при t = t1 имеем
	u		2	(t ) =10e−102 10−2							+10e−102 (10−2 −10−2 ) =10 e−1 +10e0 =3,67 +10 =13,67 B,
			2	1
при t = 2 t1 имеем
u	2	(2t ) =10e−102 2 10−2										+10e−102 (2 10−2 −10−2 ) =10 e−2 +10e0 =1,35 + 3,67 =5,02 B.
	2			1
3) t ≥ 2t1 :
						u	вых3	(t			)	=10е−102 t +10е−102 (t−10−2 ) − 2 10 е−102 (t−2 10−2 ) ,B			,
							вых3		1
при t = 2 t1 имеем
				u	2	(2t ) =10е−102 2 10−2 +10е−102 (2 10−2 −10−2 ) − 2 10е−102 (2 10−2 −2 10−2 ) =
					2	1

=10e−2 +10e−1 + 20e0 =1,35 + 3,67 − 20 = −14,98 B,

при t → ∞ имеем u2(∞) = 0.

5 Результаты численных расчетов (п. 4) сводим в таблицу 11.1, а затем строим график отклика u2(t), рис. 11.4.

Таблица 11.1 – Результаты численных расчетов

t / t1	t, с	u2(t), В	Расчетные
t / t1	t, с	u2(t), В	формулы
0	0	10
			(11.2)
0,5	5	6,07	(11.2)

1	10–2	3,67
1	10–2	13,67
			(11.3)
1,5	15	8,3	(11.3)

2	2·10–2	5,02
2	2·10–2	– 14,98
			(11.4)
2,5	25	– 9,09	(11.4)

∞	∞	0

uвых(t), В

13,67

8,3

6,07

5,02

3,67

0								2,5	3	t /t1
	0,5		1		1,5		2

–5,49

–9,09

– 10

–14,98

Рисунок 11.4 – Временная диаграмма отклика

Задача 12. Определение отклика цепи методом наложение

На вход цепи (рис. 12.1) подается напряжение u1(t) в виде экспоненциального импульса (рис. 12.2), где tи – длительность импульса, а – действительное положительное число.

		0, t < 0;
		−at
u (t) =		−at	,0 ≤t ≤tи;
1	U e		,0 ≤t ≤tи;
		0, t ≥tи.
		0, t ≥tи.

	R			u1(t)
	R		U
			U
uвх(t)	L	uвых(t)	u1(tи)
			u1(tи)	t
				t
Рисунок 12.1 – Исследуемая			0	tи
Рисунок 12.1 – Исследуемая			Рисунок 12.2 – Входное
	цепь			воздействие

Требуется: 1) определить отклик цепи u2(t); 2) построить график u2(t).

Решение

1 Определим отклик цепи u2(t) с помощью интеграла Дюамеля. Для этого необходимо знать переходную функцию напряжения huu(t) цепи. Эта функция

	−	R	t		−	t
уже определена в задаче 11 и равна: h (t) = e		L		= e		τ . Так как воздействие u1(t)
uu

имеет один разрыв первого рода при t = tи, то отклик цепи определяем для двух интервалов непрерывности воздействия отдельно [1.30]:

1) 0 ≤t <tи :

tи

u2 (t) =u1 (0) huu (t) + ∫u1′(x) huu (t − x)dx,

2) t ≥tи:

			tи
		u2 (t) =u1 (0) huu (t) + ∫u1′(x) huu (t − x)dx −u1 (tи ) huu (t −tи ).
			0
В	данной	задаче	u1 (0) =U ,	u1′(x) = −aUe−ax ,	u1 (tи) =Ue−atи ,

−

(t−x)

(t) = e

, h (t − x)

= e

, h (t

Тогда для интервала 1:

u2 (t) =Ue−

t + ∫t

(− aUe−ax )e−

для интервала 2:

−

(t−tи)

−tи) = e

−x)

−

R−aL

dx = −Ue

− e L

R − aL

, (12.1)

u2 (t) =Ue−RL t + t∫и (− aUe−ax )e−RL (t−x)

					0
	−	R	t			aL			R−aL	t
	−		t							t
=Ue		L	1	+			1	− e L			и
=Ue		L	1	+			1	− e L
						R − aL
						R − aL

dx −Ue−atи e				−	R	(t−tи)
				−	L	(t−tи)
					L
	R−aL	t				(12.2)
	R−aL

− e	L		и .

2 Зададим следующие численные значения для этой задачи: R =10 Ом,

L = 0,1Гн, а = 2, U = 2 В, tи = 10–2 с.

Для интервала 1 выражение отклика цепи согласно (12.1):

При t = 0 u2(0) = 2 B; при t = tи u2(tи) = 0,744 B.

Для интервала 2 выражение отклика цепи согласно (12.2):

					10				10-2 0,1t
			u2 (t) 2		10	e	-100t	1 − e	0,1
			u2 (t) 2	10	− 2 0,1	e		1 − e		, B.
				10	− 2 0,1
	При t = tи u2(tи) = – 1,247 B;
	При t = tи u2(tи) = – 1,247 B;
	при t → ∞ u2(∞) = 0.
	3 Результаты численных расчетов (п. 2) сводим в таблицу 12.1, а затем по
данным таблицы строим график отклика, рис. 12.3.
	Таблица 12.1 – Результаты					u2(t), В
численных расчетов					2	u2(t), В
t / t1	t, с	u2(t), В	Расчетные		2
t / t1	t, с	u2(t), В	формулы
0	0	2			1,2
0,5		1,2	(12.1)		1,2
0,5		1,2	(12.1)		1
1	10	0,744			0,744					1,5	2	t / tи
1	10	0,744			0
1	10	– 1,247
							0,5		1
					– 0,45
1,5		– 0,755

			(12.2)		– 0,75
2		– 0,45	(12.2)		– 1
2		– 0,45			–1,247
∞	∞	0			Рисунок 12.3 – Временнáя диаграмма
∞	∞	0							отклика
									отклика

4 При увеличении длительности импульса tи входного напряжения u1(t) временная диаграмма (рис. 12.3) изменится: при t = tи скачок отклика u2(t) опустится ниже. Например, пусть длительность импульса входного напряжения увеличится в 5 раз: tи = 5 10–2 с.

Получим следующие результаты расчетов, аналогичных п. 3, которые сведем в таблицу 12.2.

u2(t), В

1
0,014		1,5	2 t / tи
0	0,5	1

–1

–1,833

–2

Рисунок 12.4 – Временнáя диаграмма отклика при увеличении длительности импульса в 5 раз

Таблица 12.2 – результаты

численных		расчетов,		при
увеличении импульса в 5 раз
	t / t1	t, с	u2(t), В
		0
	0	0		2
	1	50	0,014
	1	50	– 1,833
	∞	∞		0

По данным табл. 12.2 построим временную диаграмму отклика u2(t), рис. 12.4.

5 Если не увеличивать длительность импульса tи входного напряжения u1(t), но увеличить коэффициент „а” показателя экспоненты входного напряжения u1(t), то временная диаграмма отклика будет выглядеть аналогично рис.

12.4.

Предлагается самостоятельно проверить это утверждение.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.2016609 Кб13МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУК2 - копия.docx
#
06.09.2019370.69 Кб3МК з підприємницької практики.doc
#
10.02.201651.2 Кб15Модель OSI.doc
#
10.02.20161.56 Mб94Модуль 1.pdf
#
10.02.20161.61 Mб171Модуль 2.pdf
#
10.02.20161.56 Mб133Модуль 3.pdf
#
10.02.20161.39 Mб38Модуль 4.pdf
#
24.08.201975.66 Кб10модульна робота.docx
#
10.02.2016128.8 Кб33Московский Педагогический коледж.docx
#
19.11.2018165.89 Кб9МР к ЛР 1.0 рус.doc
#
19.11.2018168.45 Кб4МР к ЛР 1.0 укр.doc