18
Проанализируем, во сколько раз изменится величина тока i через t = Tсв. Для этого сравним два значения тока i:
|
i(t) |
|
= |
|
Ie−δt sin ωсвt |
|
= eδTсв . |
|
i(t +T |
) |
|
−δ(t+Tсв) |
|
||
|
|
Ie |
+Tсв) |
||||
|
св |
|
|
sin(ωсвt |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Величину eδTсв называют декрементом колебания |
|||||||
|
|
|
|
|
∆ = eδTсв . |
(1.23) |
|
Декремент колебания ∆ характеризует скорость убывания процесса через Tсв, а коэффициент затухания δ показывает зависимость убывания процесса от величины сопротивления R (чем больше R, тем быстрее процесс).
Если прологарифмировать выражение (1.23), то получим выражение: ln eδTсв = δTсв ,
которое называют логарифмическим декрементом колебания.
В заключение следует отметить, что с ростом порядка цепи существенно возрастает трудность определения постоянных интегрирования. Поэтому для расчета переходных процессов в цепях выше второго порядка пользуются другими методами расчета.
Алгоритм анализа электрической цепи классическим методом.
1Определяют независимые начальные условия цепи, при t < 0 (старый стационарный режим).
2Определяют принужденную составляющую решения, при t → ∞ (новый стационарный режим).
3Записывают полное решение искомой функции (ток iL или напряжение uC) согласно (1.4) в переходном режиме.
4Определяют свободную составляющую решения согласно (1.8) или (1.42) в зависимости от того, какого порядка цепь и какого типа режим в цепях второго порядка.
5На основании пунктов 2 и 4 записывают полное решение искомой функции.
6С помощью законов Кирхгофа и Ома определяют остаточные токи и напряжения цепи (при необходимости).
7Производят расчет и построение временных диаграмм.
'
1.3 ВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Переходная функцией цепи h(t). Переходной функцией h(t) цепи
называют отклик цепи на воздействие в виде единичной ступенчатой функции 1(t) (функция Хэвисайда).
В зависимости от типа воздействия и отклика цепи переходная функция цепи h(t) может быть четырех видов:
1huu (t) – переходная функция напряжения, величина безразмерная;
2hui (t) – переходное сопротивление цепи; имеет размерность Ом;
3hiu (t) – переходная проводимость цепи; имеет размерность сименс (См);
19
4 hii (t) – переходная функция тока,
величина безразмерная.
Импульсная функция цепи g(t).
Импульсной функцией цепи g(t) называют отклик цепи на воздействие в виде δ- функции (функция Дирака) δ(t) . Согласно
δ(t)
∞
рисунку 1.21 можно записать: |
|
t |
||
∞, при t =0, |
|
|||
(1.24) |
0 |
|||
δ(t) = |
при t ≠0. |
|||
0, |
|
Рисунок 1.21 – Изображение |
||
Импульсная функция g(t) также бывает |
дельта функции |
|||
|
||||
четырех видов в зависимости от типа |
|
|||
воздействия и отклика цепи: guu (t) , gui (t) , |
giu (t) и gii (t) . |
|||
Связь переходной и импульсной функций цепи. Дельта импульс
δ(t) является производной единичной ступенчатой функции:
δ(t) =1 (t) , |
(1.25) |
′ |
|
хотя это утверждение требует специального доказательства [1].
В силу линейности электрических цепей и выражения (1.25) есть основание полагать, что импульсная функция может быть получена как:
′ |
(1.26) |
g(t) = h (t) + h(0) . |
Этой формулой пользуются если переходная функция h(0) ≠ 0, при h(0) = 0 g(t) = h′(t) .
Формула (1.26) выражает связь переходной и импульсной функциями цепи, а также позволяет определить импульсную функцию g(t) по известной переходной функции h(t). Для нахождения переходной функции h(t) можно использовать как классический, так и операторный методы.
Для построения графика импульсной функции многие авторы [1, 4] настоятельно рекомендуют нормировать импульсную функцию. Дельта импульс δ(t) имеет размерность с–1, поэтому нормирование производят по
времени. Примеры рассмотрены в приложении. |
|
|
||||||
|
1.3.1 Определение отклика методом наложения |
|
||||||
Известно, |
что |
любой |
тракт |
i1(t) |
h(t) |
i2(t) |
||
передачи можно представить в виде |
||||||||
u1(t) |
g(t) |
u2(t) |
||||||
четырехполюсника, на вход которого |
||||||||
подается |
информационный |
сигнал. |
Рисунок1.22 – Тракт передачи с |
|||||
Пройдя |
через |
тракт, |
этот |
сигнал |
||||
появляется на |
выходе. |
На практике |
временными параметрами |
|||||
зачастую |
требуется |
определить |
|
|
|
|||
параметры сигнала на выходе (отклика). Чтобы определить параметры отклика |
||||||||
необходимо знать (определить) свойства тракта |
передачи. При |
временном |
||||||
20
анализе цепей все функции (входные, выходные) являются функциями времени
(t), рис. 1.22.
Если u1 (t) =1(t) , то u2 (t) ≡ h(t) по определению; если u1 (t) =U1 1(t) , то u2 (t) =U1 h(t) . Таким образом отклик можно определить зная переходную
n
функцию цепи. Если воздействие сложная функция u1 (t) = ∑U1k (t −tk ) , то
k=0
|
С |
|
u1(t) |
R |
u2(t) |
Рисунок 1.23 – RC четырехполюсник
U1 u1(t)
t
0 tи
Рисунок1.24 – Видеоимпульс
исходя из линейности цепей можно применить принцип суперпозиции и записать отклик как сумму откликов на каждое элементарное воздействие
n
u2 (t) = ∑U1k (t −tk ) h(t −tk ) . (1.27)
k=0
Проиллюстрируем это на простом примере.
Пример 1. Определить отклик цепи рис. 1.23 на сигнал в виде П-образного импульса напряжения рис. 1.24 (видеоимпульс):
|
0, |
|
t < 0, |
|
u1 |
|
|
, 0 |
≤ t ≤ tи, |
(t) = U1 |
||||
|
|
0, |
|
t > tи. |
|
|
|
||
Решение
u1(t)
U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
tи |
t |
|||||
u (t) |
|
|
|||||||
U1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1(1) (t) |
б) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
tи |
|
|
|
|
|
u(2) |
(t) |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
||||
-U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1.25 – П-образный импульс (а) и его представление в виде двух ступенчатых функций (б)
1 Определим переходную функцию напряжения huu (t) цепи рис. 1.23. По
определению huu (t) это отклик u2 (t) при u1 (t) =1(t) . Можно воспользоваться классическим методом. В примере 3 (см. раздел 1.2.1) uR (t) =U e−t / τ (1.23),
если положить U =U1 =1, то
uR (t) ≡ huu (t) ≡1 e−t / τ ,
где τ = RC1 – постоянная времени цепи. Положим, что tи = τ.
2 Исходя из выражения (1.27) можно определить отклик u2 (t)
применив метод наложения. Воздействие в виде П-импульса можно
21
представить как сумму двух ступенчатых разнополярных функций сдвинутых по времени рис. 1.25:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1(1) |
(t) |
|
0, t < 0, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
t ≥ 0; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
0, t |
< tи, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
(t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−U1, t > tи. |
|
|
|
|
|
|
||
u (t) =u(1) (t) + u(2) |
(t) =U |
1 |
(t) −U |
1 |
(t −t |
и |
). |
Отклик u |
2 |
(t) будет |
содержать |
две |
|||||||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
составляющие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) при 0 ≤t ≤tи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 (t) =U1 h(t) =U1 e−t / τ ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) при t >tи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 (t) =U1 h(t) −U1 h(t −tи) , |
|
|
|
||||||||||
|
где h(t −tи) = |
1e |
−t−tи |
= e−t / τe+tи / τ, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
u2 (t) =U1 e−t / τ −U1 e−t / τe−tи / τ =U1 e−t / τ(1 − e−tи / τ) =U1 e−t / τ(1 − e−1 ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Временнáя |
|
|
|
|
диаграмма |
|
|
|
U1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
отклика u2 (t) будет состоять из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
двух |
частей |
|
|
для |
двух |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
временных |
|
|
|
интервалов |
– 0,37 U1 |
|
|
2 |
3 |
t / tи |
|||||||||||||
соответственно |
|
(см. |
|
выше). |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Если положить, что tи |
|
= τ, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
–0,63 U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
примерный |
вид |
|
|
|
|
отклика |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
изображен на рис. 1.26. |
|
|
|
|
|
|
Рисунок1.26 – Временнáядиаграмма |
|
|||||||||||||||
|
Предлагается |
|
|
|
самостоя- |
|
|
|
откликацепи рис. 1.23 наП-импульс |
|
|||||||||||||
тельно |
произвести |
|
расчеты, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
задавшись числовыми значениями параметров цепи (R и C) рис. 1.23 и воздействия U1 .
1.3.2 Определение отклика при произвольных воздействиях
Для определения отклика цепи на сигнал произвольной формы применяют интегралы наложения (Дюамеля).
22
Метод интеграла Дюамеля целесообразно применять, если легко находится переходная функция цепи, а воздействующая функция имеет гладкую форму (рис. 1.27).
f1 (t) |
|
k |
Для |
получения |
|
формулы |
||
|
интеграла |
Дюамеля |
представим |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
воздействие |
в |
виде |
суммы |
|
∆f (3) |
3 |
|
ступенчатых воздействий, |
сдвинутых |
||||
∆ f |
(2) |
2 |
|
друг относительно друга на время ∆t |
||||
(1) |
|
Тогда |
f1 (t) |
можно |
|
записать в |
||
∆f |
1 |
|
|
|||||
|
|
виде: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
f (0) 1(t) + ∆f (1) |
1(t − ∆t) + |
(1.28) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f1(0) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
+ ∆f 1(t − 2∆t) ∆f (k ) 1(t − k∆t), |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
∆ |
t |
|
|
где f1(0) – скачок функции при |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
∆t1∆t2∆t ∆t |
4 |
|
|
|||||||||
3 |
t k |
t |
= |
0; ∆f (k ) 1(t − k∆t) – величина |
|||||||||
Рисунок 1.27 – Произвольное |
|||||||||||||
скачка, при t = t - k∆t ; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
воздействие |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
f2 (t) = f1 (t) h(t) , |
|
|
|
Отклик цепи на скачок опреде- |
||||
ляется по формуле |
поэтому отклик цепи на воздействие f1 (t) |
||||||||||||
можно найти на основании принципа наложения:
f2 (t) = f1 (0) h(t) + ∆f (1) h(t − ∆t) + ∆f 2h(t − 2∆t) +...
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
...∆f (n) h(t − n∆t) = f1 (0) h(t) + ∑ f (k )h(t − k∆t). |
|
|||||||
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
Если устремить |
∆t → 0, |
то k ∆t |
вместо дискретного |
становится |
||||
непрерывным (т. е. |
k ∆t =tk ), |
операция |
суммирования превращается в |
|||||
операцию интегрирования по переменной t, а |
∆f |
(k ) |
в производную |
′ |
||||
|
f1 (t) . |
|||||||
Произведя соответствующую замену, получим [1]: |
|
|
||||||
|
f2 (t) = f1 (0) h(t) + |
t |
′ |
|
|
|
(1.29) |
|
|
∫ f1 (x) h(t − x)dx . |
|||||||
|
|
|
x =0 |
|
|
|
|
|
Существуют другие формы записи интеграла Дюамеля, основанные на |
||||||||
замене переменной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 (tk ) = f1(0) h(t) + |
t |
′ |
|
|
h(x)dx, |
(1.29а) |
|
|
∫ f1(t − x) |
|||||||
|
|
|
x=0 |
|
|
|
|
|
|
f2 (t) = f1(t) h(0) + |
t |
|
|
′ |
− x)dx. |
(1.29б) |
|
|
|
|
|
|||||
|
∫ f1(x) h (t |
|||||||
|
|
x=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
′ |
|
|
f2 (tk ) = f1(t) h(0) + |
∫ |
|
|
|
(1.29в) |
||
|
f1(t − x) h (x)dx. |
|||||||
x=0