Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Модуль 3.pdf

Скачиваний:

133

Добавлен:

10.02.2016

Размер:

1.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

где Аk – k-тая постоянная интегрирования, значение тока или напряжения в момент времени t = 0,

pk – k-тый корень характеристического уравнения, составленного по дифференциальному (1.3) и имеющего вид:

an pn + a(n−1)p(n−1) +K+a1p + a0 = 0 .

1.2.1Цепи первого порядка

Вцепях первого порядка переходные процессы описываются дифференциальными уравнениями первого порядка:

+ a

= f (t)..

1 dt

Рассмотрим расчет цепи на примерах.

Пример 1. Подключение RL цепи к источнику постоянного напряжения.

Из рисунка 1.3 следует, что до

iL(t)

коммутации

ключ К разомкнут,

поэтому

uL(t)

iL(0_) = 0,

(1.5)

т. е. цепь находится в нулевом

начальном состоянии.

Рисунок 1.3 – Подключение

После

замыкания

ключа

(коммутации) в цепи начинается

RL цепи к источнику

переходной

процесс. В

качестве

переменной дифференциального уравнения выберем ток в цепи, который совпадает с током в индуктивности iL(t), и составим уравнение по второму закону Кирхгофа uR + uL =U , или в дифференциальной форме:

			RiL + L	diL	=U.				(1.6)
			RiL + L	dt	=U.				(1.6)
				dt
Решение уравнения (1.6) запишем по форме (1.4), т. е.
			iL (t) = iпр + iсв,						(1.7)
где iпр определяем в НСР цепи (рис. 1.4).
	R				iпр = U / R,
	R		а iсв определим			как	общее		решение
+			дифференциального			уравнения			первого
			дифференциального			уравнения			первого
		iпр	порядка:
U			порядка:			= Ae pt .
U					i	= Ae pt .			(1.8)
					св	А		постоянная
Рисунок 1.4 – Эквивалентная			В		(1.8)	А	–	постоянная
Рисунок 1.4 – Эквивалентная			интегрирования,			которая		находится		на
схема замещения цепи			основании		правила коммутации				(1.1)	и
рис. 1.3 при t → ∞			начального условия цепи (1.5)
откуда:				iL(0–) = iL(0+) = iпр + A = 0,
откуда:

A = - iпр = – U / R.

В выражении (1.8) р – корень характеристического уравнения:

R + pL = 0,

откуда:

p = − RL .

При расчетах удобно пользоваться величиной

τ =	1	,	(1.9)

которую называют постоянной времени цепи

Таким образом, ток iL(t) iL (t) = UR

τ =

(1.10)

при t ≥0+, т. е. в любой момент после коммутации:

−

− e

τ .

(1.11)

Определим напряжение на резисторе R и индуктивности L в переходном режиме:

−

uR (t) = RiL (t) =U (1 − e

τ ),

(1.12)

diL (t)

=Ue−

uL (t) = L

=Ue−

(1.13)

Формулам (1.11...1.13) соответствуют временные диаграммы этих величин, приведенные на рис. 1.5 и 1.6.

uR(t), uL(t)

uR(t)

iL(t)

uL(t)

0	t / τ	0
	t / τ		t / τ
	Рисунок 1.5 – Временные		Рисунок 1.6 – Временнáя
диаграммы напряжений цепи			Рисунок 1.6 – Временнáя
диаграммы напряжений цепи			диаграмма тока цепи
			диаграмма тока цепи

Из рис. 1.5 видно, что при любом значении t сумма напряжений uR и uL составляет величину входного напряжения U, что подтверждает закон Кирхгофа для контура.

Анализ полученных результатов показывает, что при нулевых начальных условиях в момент t(0+) индуктивность ведет себя как бесконечно большое

сопротивление (разрыв цепи), а при t → ∞, как бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи).

В разветвленной RL цепи постоянная времени определяется

τ = L ,

Rэкв

где Rэкв – эквивалентное сопротивление, цепи относительно точек подключения индуктивного элемента, при этом источники в цепи после коммутации (t ≥ 0+) заменяются своими внутренними сопротивлениями. А

постоянная времени τ – это время, в течение которого свободная составляющая iсв изменяется в “e” раз. Для доказательства этого сравним два значения iсв для двух моментов времени, взятых через интервал t = τ:

−

iсв(t)

Ae τ

= e ≈ 2,72.

iсв(t + τ)

−

(t+τ)

−

Ae τe−1

Таким образом, величина τ характеризует крутизну временной характеристики переходного процесса в цепи. Через (4…5)τ переходный процесс практически заканчивается (е–5 = 0,0067). В свою очередь величина τ зависит от величин элементов цепи (1.10), изменяя которые можно менять практическое время переходного процесса (tуст на рис. 1.2).

Пример 2. Отключение разветвленной RL цепи (рис. 1.7) от источника

постоянного напряжения.

При t = 0 ключ К замыкается, отключая при этом от RL цепи источник напряжения U. Определим начальное условие для тока в индуктивности.

R1	i1	iL	iL (0− ) = i1		R2	,
				R2	+ R3

+	R2	L	где	U
	R2		i1 =	U	.
U	K	R3	i1 =	R2 R3	.
U	K	R3	R1 +	R2 R3
				R2 + R3

Рисунок 1.7 – Отключение		Определим принужденную составляю-
Рисунок 1.7 – Отключение		щую тока iпр в индуктивности L (в НСР) из
цепи от источника		щую тока iпр в индуктивности L (в НСР) из
цепи от источника		схемы рис. 1.8. Из рис. 1.8 видно, что iпр = 0,
		схемы рис. 1.8. Из рис. 1.8 видно, что iпр = 0,
т. к. в этой цепи нет источника электрической энергии.
	iпр	Определим свободную составляющую
	iпр	тока iсв в индуктивности L.
		тока iсв в индуктивности L.
R2	R3		i = Ae pt ,
R2	R3		св
		где		1		Rэкв
			p = −	1	= −	Rэкв	,
		а Rэкв	p = −	τ	= −	L	,
				τ		L
Рисунок 1.8 – Эквивалентная			определим		согласно правилам,
схема замещения цепи рис. 1.7		изложенным выше.			Для этого изобразим
		схему	(рис. 1.7)		после		коммутации,

источник U заменим коротким замыканием и относительно точек включения

индуктивности L (точки а и б) определим Rэкв. В результате получим схему,

изображенную на рис. 1.9.

Rэкв = Rаб = R3 .

Постоянную интегрирования А определим таким же образом, как и в

примере 1:

iL (0− ) =iL (0+ ) =iпр + A =

R2 R3

R2 + R3

откуда

A =

R2 R3

(R + R )

Рисунок 1.9 – Схема замещения

+ R3

цепи для определения Rэкв

(1.14)

= R (R

U R2

R .

R )+ R

Таким образом, получим выражение для iL(t) в переходном режиме:

iL (t) =

U R2

−Rэквt

=iL (0− )e

−Rэквt

=iL (0− )e

−t

τ.

(1.15)

R1 (R2 + R3 )

+ R2 R3

Напряжение на индуктивности L:

Rэкв

(t)

−

(t) = L

= Li

= −i

τ. (1.16)

) −

экв e

−

экв

−

экв

Выражениям (1.15) и (1.16) соответствуют графики, рис. 1.10 и 1.11:

iL(t)

uL(t)

iL(0-)

t / τ

– iL(0-)Rэкв

Рисунок 1.10 – Диаграмма

Рисунок 1.11 – Диаграмма

тока индуктивности

напряжения индуктивности

Пример 3. Подключение RC цепи к источнику постоянного напряжения,

рис. 1.12.

Из рис. 1.12 следует, что до

коммутации ключ К разомкнут, поэтому

uC (0–) = 0,

(1.17)

т.е. цепь находится в нулевом начальном

состоянии.

После коммутации (замыкания клю-

Рисунок 1.12 – Подключение

ча

К) начинается

переходній

процесс.

RC цепи к источнику

качестве переменной дифференциального уравнения выберем напряжение на

емкости uC и составим уравнение по закону Кирхгофа:

R iC + uC = U.

(1.18)

Если выразить

duC

то уравнение (1.18) примет вид

duC

+ uC =U .

(1.19)

Решение уравнения (1.19) найдем в форме (1.4):

uC (t) = uCпр + uCсв,

(1.20)

где uCпр определяется в НСР цепи

(t → ∞), рис. 1.13, а

іC = 0, uR = 0.

uCпр=U

Свободную

составляющую

uCсв

определим

как

общее

решение

дифференциального уравнения первого

Рисунок 1.13 – Эквивалентная схема

порядка:

uCсв = Ae pt ,

замещения RC цепи при t → ∞

уравнения:

где р – корень характеристического

p +

= 0, откуда p = −

Согласно (1.9) постоянная времени RC цепи:

τ = − 1p = RC .

Для разветвленной RC цепи τ = RэквC, где Rэкв определяется согласно правилам, изложенным выше.

Постоянную интегрирования А определим из уравнения (1.4) при t = 0+, а также с помощью правила коммутации (1.2) и начального условия (1.17):

uC (0–) = uC (0+) = uCпр+ A = 0, откуда A = - uCпр = - U.

Таким образом,

−

uC (t) =U −Ue

=U (1 − e

τ ) ,

(1.21)

ток в цепи

−

i (t) =C

(1.22)

напряжение на резисторе R:

−

(t) =i

(t)R =Ue

τ.

(1.23)

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.2016609 Кб13МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУК2 - копия.docx
#
06.09.2019370.69 Кб3МК з підприємницької практики.doc
#
10.02.201651.2 Кб15Модель OSI.doc
#
10.02.20161.56 Mб94Модуль 1.pdf
#
10.02.20161.61 Mб171Модуль 2.pdf
#
10.02.20161.56 Mб133Модуль 3.pdf
#
10.02.20161.39 Mб38Модуль 4.pdf
#
24.08.201975.66 Кб10модульна робота.docx
#
10.02.2016128.8 Кб33Московский Педагогический коледж.docx
#
19.11.2018165.89 Кб9МР к ЛР 1.0 рус.doc
#
19.11.2018168.45 Кб4МР к ЛР 1.0 укр.doc