13

Формулам (1.21...1.23) соответствуют временные диаграммы этих величин,

рис. 1.14 и 1.15.

uC,uR

uC(t)

iC(t)

U

U

uR(t)

R

0

0

t/τ

1 2 3 4 t/τ'

1 2 3 4

'

Рисунок 1.14 – Временные

Рисунок 1.15 – Временная

диаграммы напряжений цепи

диаграмма тока цепи

Из рис. 1.14 видно, что в любой момент времени выполняется закон

Кирхгофа для контура

uR(t) + uC(t) = U.

1.2.2 Цепи второго порядка

При наличии в цепи двух независимых накопителей энергии (L и C)

переходные процессы в ней описываются дифференциальным уравнением

второго порядка. Такую цепь называют цепью второго порядка. Примером

такой цепи является последовательный колебательный контур (рис. 1.16).

Составим для этой цепи

Rг

K

R

R

дифференциальное

uRг

K

уравнение,

описывающее

+

1

2

2

uR

i

переходный

процесс в

цепи

U

0

L

0

+

uL

L

после коммутации (переклю-

uC

uC(0–)

+

C

чение с К0-1 на К0-2).

После

–

–

i

–C

переключения создается кон-

б)

тур, содержащий последова-

а)

тельное

соединение

эле-

Рисунок 1.16 – Цепь второго порядка:

ментов R, L, C. Для этого

а) до коммутации; б) после коммутации

контура

имеет

место

уравнение:

uR + uL – uC = 0 .

В качестве переменной положим ток

iC =iR =iL =i ,

тогда это уравнение

можно представить:

iR + L di

1 ∫idt = 0 ,

+

(1.24)

а для схемы рис. 1.16, б:

dt

C

= −C duC ,

i

C

dt

откуда

14

uC = −

1

∫iC dt .

C

Продифференцируем уравнение (1.24):

Li′′+ Ri′+ (1/ C)i = 0,

(1.25)

разделим все слагаемые уравнения (1.25) на L:

R

1

i′′ +

L i′ +

i

= 0 .

(1.26)

LC

Введем обозначение

R

= 2δ,

L

где δ – коэффициент затухания, а

1

= ω02 ,

LC

где ω0 – собственная (резонансная) частота контура.

Тогда уравнение (1.26) примет вид:

i′′ + 2δi′+ ω02i = 0 .

(1.27)

Решение уравнения (1.27):

i = iпр + iсв,

так как iпр = 0, то

= A e p1t + A e p2t .

i =i

св

(1.28)

1

2

Решая характеристическое уравнение второй степени:

p2 + 2δp + ω02 = 0,

находим корни

p

= −δ ± δ

2 − ω2 .

(1.29)

1,2

0

Значение корней p1 и p2 зависит от соотношения коэффициента затухания δ

и частоты ω0. Так, если

δ > ω0,

(1.30)

то оба корня p1 и p2 отрицательные вещественные и различные.

Если

δ = ω0,

(1.31)

то p1 = p2 = - δ = p, т. е. корни равны и отрицательны.

Если

δ < ω0,

(1.32)

то корни p1 и p2 комплексно-сопряженные

p1, 2 = - δ ± j ωсв,

(1.33)

15

R >

1

или

2L

LC

L ,

R > 2

C

где

L

=ρ – волновое сопротивление контура. Величина 2ρ называется

C

критическим сопротивлением Rкр, т. е. Rкр = 2ρ = 2

L .

C

A

+

A

= 0, A

= −A ,

(1.34)

1

2

1

2

p1 A1 + p2 A2 =i′(0+ ).

i′(0+ ) =

U

.

L

Решая систему (1.34), определяем А1 и А2:

U

A1

=

U

,

A2

= −

.

δ2

2L δ2

− ω02

2L

− ω02

Таким образом, ток i согласно (1.28)

запишем следующим образом:

i =

U

(e p1t − e p2t ),

(1.35)

2L

δ2 − ω02

выражение

δ2 − ω2

преобразуется в ± jωсв

а свободную составляющую iсв

(1.28) удобнее преобразовать следующим образом:

i

=

A e p1t + A e p2t

=

U

(e p1t −e p2t ) =

св

1

2

2L

δ2 −ω02

=

U

[e(−δ+ jωсв)t

−e(−δ− jωсв)t ]=

U

(e−δt e jωсвt

−e−δt e− jωсвt )=

2L

jω

2 jω

L

св

св

=

U e−δt

(e jωсвt − e− jωсвt )=

U e−δt

2 j sin ω t = U e−δt

sin ω t = Ie−δt sin ω t,

2 jω L

2 jω L

св

ω L

св

св

св

св

св

где

U

I =

.

Так как iпр = 0, то ток в контуре

ωсвL

i(t) = iсв(t) = I e-δt sin ωсв t.

(1.42)

Напряжение на емкости C (рис. 1.16, б) можно получить также из

выражения

(1.37),

записанного для

i

Ie-δt

апериодического

режима,

преоб-

sin ωсвt

разовав его в другую форму

I

i(t)

аналогично тому, как это сделано

здесь для тока i.

предла-

1

Эти

преобразования

гается выполнить самостоятельно.

0

Таким

же

образом,

можно

Tсв

получить выражение для uR и uL.

Выражению

(1.42) соответст-

– 1

вует график тока i(t), рис. 1.20.

– I

– Ie

-δt

График тока

i

представляет

собой “затухающую” синусоиду,

Рисунок 1.20 – Квазигармоническое

т.к. это

затухающая

функция

с

колебание