11. Численное дифференцирование и интегрирование

Часто получаемые в эксперименте результаты требуют при обработке выполнения операций дифференцирования или интегрирования. Эти задачи решаются численными методами.

По определению производная функции вычисляется по формуле:

. (11.1)

Переходя в формуле (11.1) от бесконечно малых к конечным разностям, получаем формулу для численного дифференцирования для так называемого двухточечного метода:

(11.2)

Формула (11.2), называемая дифференцированием «вперед» (конечно легко записать аналогичную формулу по правилу дифференцирования «назад»), позволяет построить простой вычислительный алгоритм, однако замена бесконечно малых приращений конечными является причиной возникновения ошибок. Можно показать, что эта формула имеет второй порядок точности, т.е. величина погрешности . Большее распространение получили многоточечные схемы, основанные на применении интерполяционных полиномов. Так алгоритм расчета первой производной по трехточечной схеме, погрешность которой, имеет вид:

(11.3)

Получив массив значений первой производной можно повторяя операцию вычислить производные старших порядков.

На рис. 11.1 показан фрагмент документа MathCAD, в котором производится численный расчет первой производной и сравниваются результаты дифференцирования различными методами, в том числе и с применением встроенных функций пакета.

Рис. 11.1 . Процедура численного дифференцирования

Как видно из рис. 11.1, погрешность трехточечного метода существенно ниже, т.е. точки обозначенные крестиками лежат существенно ближе к графику функции первой производной, которая найдена встроенной функцией MathCAD, чем точки обозначенные кружочками.

При решении задачи численного интегрирования следует помнить, что с геометрической точки зрения определенный интеграл:

, (11.4)

есть площадь фигуры, ограниченная графиком функции и прямыми, как это проиллюстрировано на рис. 11.2а.

а	б	в
Рис. 11.2. Вычисление определенного интеграла. а – геометрический смысл интеграла, б – метод правых прямоугольников, в – метод левых прямоугольников.

Если разделить интервал интегрирования на равных отрезков длиной, так что координата правого конца отрезка определяется по формуле

, (11.5)

где .

Простейшая оценка площади под кривой может быть получена как сумма площадей прямоугольников, одна из сторон которого совпадает с отрезком , а высота равна значению функции в т.(метод левых прямоугольников) или в т.(метод правых прямоугольников).

Величина определенного интеграла для каждого из этих случаев, соответственно, вычисляется по формуле:

(11.6)

Если реальную функцию на каждом из отрезковзаменять отрезком прямой, проходящей через точки с координатамии, т.е. предварительно проводить процедуру линейной интерполяции. Тогда полоска, которая ранее имела форму прямоугольника, превращается в трапецию, а искомый определенный интеграл вычисляется по методу трапеций как

(11.7)

Метод трапеций обеспечивает более высокую точность, чем методы прямоугольников. Еще более высокая точность вычислений получается, если использовать предварительную параболическую интерполяцию функции по трем соседним точкам. Такой метод называется методом парабол или методом Симпсона. Искомый определенный интеграл находится как площадь всех параболических сегментов по формуле

, (11.8)

при этом величина числа отрезков разбиения должна быть, очевидно, четным числом.

На рис. 11.3 представлен фрагмент MathCAD документа, в котором рассмотрен вариант расчета интеграла численным методом по формуле Симпсона. При этом решается 2 задачи – вычисления интеграла для заданного числа разбиений и с заданной точностью. Результаты вычислений сравниваются с величиной, полученной с помощью встроенной функции пакета MathCAD.

Рис. 11.3. Реализация в пакете MathCAD метода Симпсона