10. Обработка экспериментальных данных

10.1. Понятие об интерполяции

При проведении анализа различных физических явлений или технологических процессов результаты эксперимента обычно представляются в виде табличной зависимости функции y(x):

X	x1	x2	….	xn-1	xn
Y	y1	y2	….	yn-1	yn

При этом число точек заданной зависимости (узловых точек или узлов) ограничено. Поэтому неизбежно возникает задача вычисления значений функции между узловыми точками и за их пределами. Первая процедура называется интерполяцией, а вторая – экстраполяцией. Для проведения этих процедур полученные результаты должны приближаться какой-либо достаточно простой функцией, чтобы, впоследствии, вычисления значений в промежуточных точках производилось с помощью этой функции. Эта функция должна принадлежать определенному классу и принимать заданные значения в узлах, т.е удовлетворять системе соотношений:

(x₀) = y₀, (x₁) = y₁,  . . .,  (x_n) = y_n. (10.1)

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = (х) определенного типа, проходящую через заданную систему точек M(x_i, y_i) (i = 0, 1, ..., n) (рис. 10.1).

Рис. 10.1. К пояснению понятия интерполяции

Рис. 10.2. Простейший случай локальной интерполяции – линейной интерполяция

В такой общей постановке задача может иметь бесконечное множество решений или совсем не иметь их. Задача становится однозначной, если вместо произвольной функции Ф(х) искать полином Ф(х) степени не выше n – интерполяционный полином.

Вместе с тем, при нарастании числа точек (выше 6-8) интерполяция полиномом становится громоздкой и практически непригодной, поэтому применяют более простые виды интерполяции, называемые локальной интерполяцией. Простейшим видом локальной интерполяции является линейная интерполяция, заключающаяся в том, что заданные точки М(x_i, y_i) (i = 0, 1, ..., n) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(x) приближается ломаной с вершинами в данных точках (рис. 10.2). Функция соединяет узловые точки отрезками прямых, создавая таким образом ломаную. Интерполируемое значение для конкретного z есть ордината у соответствующей точки ломаной.

Как видно из рис.10.2 результаты кусочно-линейной интерполяции получаются довольно грубыми. Поэтому, в целях повышения точности, целесообразнее проводить интерполяцию так, чтобы исходная зависимость заменялась отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные угловые точки. Коэффициенты полиномов должны рассчитываться так, чтобы были непрерывны первые и вторые производные. Такой способ построения локальной интерполирующей функции называется сплайновой интерполяцией (от английского слова spline – гибкая линейка). Основные идеи теории сплайнов сформировались как результат математического описания поведения гибких реек, которыми издавна пользовались чертежники при необходимости проведения через заданные точки достаточно гладкой кривой.