Запитання для самоперевірки

1. Викладіть методологічні засади вимірювання взаємозв'язку.

2. Які види зв'язку ви знаєте?

3. Який зв'язок має назву функціонального, у чому він проявляється?

4. Які особливості прояву має стохастичний та кореляційний зв'язок?

5. Які методи вивчення звязку і в чому їх суть і особливості?

6. Як побудувати аналітичне групування

7. Назвіть етапи вивчення кореляційного зв'язку методом аналітичного

групування.

8. Що лежить в основі оцінки тісноти зв'язку?

9. Яку варіацію характеризує загальна, міжгрупова та середня з групо-

вих дисперсій?

10. Як обчислити кореляційне відношення і що воно характеризує?

11.Що лежить в основі перевірки істотності зв'язку?

12. Викладіть методи визначення виду рівняння регресії.

13. Як побудувати кореляційне поле і емпіричну лінію регресії?

14. З якою метою і як визначається F -критерій?

15. Як визначите параметри регресійного рівняння?

16. Що характеризують параметри лінійного рівняння регресії?

17. Назвіть показники, які використовуються для оцінки тісноти зв'язку в регресійному аналізі та напишіть формули їх обчислення.

18. Який зміст мають коефіцієнт детермінації, індекс кореляції та лінійний коефіцієнт кореляції і в яких межах змінюються їх значення?

19. Вкажіть особливості перевірки істотності зв'язку за рівнянням рег­ресії.

Тема 6. Ряди динаміки

Процес розвитку соціально-економічних явищ у часі в статистиці прийнято називати динамікою. Для її вивчення складаються та аналізу­ються ряди динаміки.

Ряд динаміки — це впорядкований у часі ряд статистичних показників для вивчення процесу розвитку і зміни у часі соціально-економічних явищ. Ряд динаміки складається з періодів часу або хроно­логічних дат t і конкретних значень відповідних статистичних показ­ників, тобто рівнів y.

Для глибокого розуміння суті рядів динаміки їх класифікують за різними ознаками. Слід пам'ятати, що знання класифікації рядів динамі­ки сприяє не тільки засвоєнню їх суті, але й правильному їх використан­ні. Залежно від форми вираження статистичного показника рівнів рядів динаміки розрізняють ряди динаміки абсолютних, відносних і середніх величин. Залежно від суті соціально-економічних явищ і від того, чого стосуються їх рівні — моменту чи періоду часу, — розрізняють два ос­новних види рядів динаміки: моментні та інтервальні, особливості яких суттєво впливають на методи обчислення узагальнюючої характеристики — середнього рівня ряду динамікиу .

В інтервальному ряді динаміки абсолютних величин з однаковими періодами часу середній рівень визначається за формулою середньої арифметичної простої

∑y

Y= ,

n

де п — число рівнів ряду динаміки.

У моментному ряді динаміки абсолютних величин з рівними про­міжками часу між моментами середній рівень обчислюється за форму­лою середньої хронологічної

0,5 y_{1 +} y₂ + y₃ +…+ y_n-1 +0,5y_n

y=

n-1

За умови нерівних відрізків часу між моментами у моментному ряді ди­наміки або керівних періодів часу в інтегральному динаміки абсо­лютних величин середній рівен обчислюють за формулою середньої арифметичної зваженої

∑y _it_i

y= ,

∑t_i

де у_i — середній рівень для окремих відрізків або періодів часу;

t_{i -} тривалість відрізків часу.

У процесі аналізу ряду данаміки обчислюють абсолютні і відносні аналітичні показники, які дають змогу виявити і визначити характер, напрям та інтенсивність змін соціально-економічних явищ за окремі відривки часу і за весь досліджуваний період: абсолютний приріст, темпи зростання і приросту, абсолютне значення 1% приросту.

Обчислення абсолютного приросту, темпів зростання і приросту грунтується на зіставленні рівнів ряду динаміки. При цьому рівень, з яким роблять зіставлення, називається базисним. За базу зіставлення беруть або початковий рівень у₀, або попередній у_і-1. Якщо кожний рівень зіставляють з попереднім (база порівняння змінна), то такі по­казники називаються ланцюговими. Коли всі рівні ряду динаміки по­рівнюються з одним і тим самим рівнем (база порівняння стала), то от­римані показники називаються базисними.

Абсолютний приріст ∆ показує на скільки одиниць власного вимі­рювання підвищився або знизився рівень за певний проміжок часу, тоб­то характеризує абсолютну швидкість зміни рівнів ряду динаміки. Він обчислюється як різниця рівнів ряду динаміки

∆_л = у – у_і-1 - ланцюговий;

∆ _б=у₁-у₀ — базисний.

Сума послідовних ланцюгових абсолютних приростів дорівнює базисному за весь період тобто кінцевому базисному приросту

∑∆_л =у_n-у₀

Середній абсолютний приріст обчислюють за формулами

∑∆_л у_n-у₀

∆= або ∆=

n-1 n-1

Середній абсолютний приріст показує, на скільки в середньому за одиницю часу (у середньому щорічно, щомісячно і т.п.) у досліджуваний період змінювались рівні ряду динаміки.

Темп зростання k є відносною характеристикою інтенсивності зміни рівнів ряду динаміки, тобто він характеризує відносну швидкість їх зміни. Його обчислюють, зіставляючи два рівні ряду динаміки

y_i у_з

k_л= - ланцюговий; k_б = - базисний.

y_i-1 у₀

Обчислений таким чином темп зростання виражається у коефі­цієнтах і іноді називаеться коефіцієнтом зростання. Якщо співвідношення помножити на 100, то він буде виражений у відсотках. Вибір форми вираження показника відносної швидкості зміни рівнів ряду ди­наміки - коефіцієнтів зростання або темпів зростання - визначається зручністю і простотою його тлумачення. Наприклад, якщо коефіцієнт зростання не перевищує 2, його зручніше виразити у процентах, у виг­ляді темпу зростання. Якщо ж він досить великий, зручніше користува­тися коефіцієнтом зростання.

Між ланцюговими і базисними коефіцієнтами зростання існує певний зв'язок:

1. Добуток кількох послідовних ланцюгових коефіцієнтів зростан­ня дорівнює базисному коефіцієнту зростання:

y₁ y₂ y_n у_n

k_{л .} k_л2 ... k_л-1n . k_лn = . … = ∏k_л-1 =

y₀ y₁ y_n-1 у₀

2. Відношення наступного базисного коефіцієнта зростання до попереднього дорівнює відповідному ланцюговому коефіцієнту зрос­тання:

y_i y_i-1 y_i

y₀ : y₀ = y_i-1

Середній коефіцієнт зростання обчислюють за формулою середньої геометричної

^n-1 y_n

k= √k₁ * k₂ * k_{3*… *}k_n-1* k_n або k= ^n-1√

y_o

Середній коефіцієнт зростання показує, у скільки разів у середнь­ому за одиницю часу (у середньому щорічно, щомісячно і т.д.) за данний період змінювалися рівні ряди динаміки.

Для обчислення середнього коефіцієнта зростання різних за три­валістю відрізків часу застосовується середня геометрична зважена

k= ^{∑ t} √ k^t1 ₁ * k^t2 ₂ * k^t3 ₃ *… * k^ti _i * … * k^tn _n ,

де k ₁ , k ₂ , k₃ …k _{i …} k_n - коефіцієнти зростання за певний період ;

t1, t2, t3... tі,... tn - тривалість окремих періодів.

Середній темп зростання Т являє собою середній коефіцієнт зрос­тання, виражений у процентах, тобто

Т= k * 100% .

Темп приросту ТП обчислюють як відношення абсолютного при­росту до рівнів ряду динаміки, взятих за базу, і він може бути ланцюговим ТП_л і базисним ТП_б, тобто

∆_л ∆_б

ТП_л = _*100_, ТП_б = у₀ * 100

У_і-1

Темп приросту можна обчислити підніманням від темпів зростан­ня величини 100.

Середній темп приросту ТП обчислюєтся як різниця між середнім темпом зростання і величиною 100.

ТП=Т-100.

Середній темп приросту показує, на скільки процентів у середньо­му за одиницю часу змінювалися рівні часового ряду за весь досліджуваний період.

Для визначення середньорічних темпів зростання або зниження зручно користуватися спеціальними таблицями [6]. Для при­близних розрахунків середніх коєфіціентів зростання можна використа­ти формулу:

∑ y_i-y₀

k = .

∑ y_i-y_n

Абсолютне значення одного проценту приросту А% показує, що являє собою в абсолютному вираженні кожний процент приросту, який реальний зміст він має. Він обчислюється діленням абсолютного приро­сту на темп приросту за той самий період

∆_л y_{i -}y _i-1 y _i-1

А% = == = 0,01 y _{i-1 ,}

ТП_л y_{i -}y _i-1 100

y _i-1 * 100

тобто абсолютне одного процента приросту дорівнює одному проценту величини попереднього рівня часового ряду.

Середнє значення одного процента приросту обчислюється ділен­ням середнього абсолютного приросту на середній темп приросту за той самий період.

Для порівняння інтенсивності змін у часі одного ряду динаміки з іншим, зокрема багатомірних рядів динаміки, що відображають динамі­ку або одного і того самого показника, що відносяться до різних об'єктів, територій або різних показників, що відносяться до одного і того самого об'єкта, території, застосовується коефіцієнт випередження Кв, який обчислюється як відношення базисних темпів зростання двох рядів динаміки за однакові відрізки часу, тобто

k₁

k = ,

k₂

де k₁ і k₂ - відповідно базисні темпи зростання першого і другого рядів

динаміки.

Якщо відрізки часу, що охоплюють два ряди динаміки, різні, то коєфіціент випередження обчислюється на основі середніх темпів зрос­тання так:

(k₁ )ⁿ

k_в = ,

(k₂ ) ⁿ

де п — тривалість осереднюваного періоду.

Коефіцієнт випередження показує, у скільки разів швидше зростає рівень одною ряду динаміки порівнянно з іншим.

Одним з найважливіших завдань обробки й аналізу рядів динамі­ки є виявлення тієї або іншої закономірності зміни їх рівній, тобто основної тенденції їх розвитку. Тенденція – це певний напрям розвитку, тривала еволюція, яка має характер росту, стабільності або зниження рівнів явища.

Для визначення основної тенденції розвитку в статистиці застосо­вують цілий ряд методів, таких як метод плинних середніх, метод аналі­тичного вирівнювання або метод найменших квадратів. Серед цих ме­тодів найбільш ефективним є метод аналітичного вирівнювання. Суть цього методу полягає в тому, що тенденція розвитку описується деякою математичною функцією від часу t, тобто Yt=ƒ(t). Ця функція нази­вається рівнянням тренду. Вона дозволяє здійснити заміну фактичних рівнів у ряду динаміки так званими вирівняними або теоретичним зна­ченнями У, тобто рівнями, обчисленими на основі даної функції. При застосуванні аналітичного вирівнювання найчастіше використовується лінійна функція Y=a+bt, де параметр а — рівень ряду динаміки при t=0; параметр b характеризує середню абсолютну швидкість зміни вирівняних рівнів часового ряду; t — порядковий номер періоду, або мо­менту часу.

Завдання полягає у тому, щоб у наведеному рівнянні знайти па­раметри a i b , які задовольняють основній вимозі методу найменших квадратів, згідно з якою сума квадратів відхилень фактичних значень рівнів ряду динаміки від теоретичних У має бути мінімальною

∑( y _i - y _i)² = min.

Знаходять ці параметри за допомогою складання і розвязування такої системи нормальних рівнянь:

na= b∑t = ∑y;

a∑t+b∑t² = ∑ty,

де п — кількість рівнів ряду динаміки.

Розв'язування цієї системи спрощується, якщо відлік значень t пе­ренести у середину ряду динаміки, що вивчаться. У цьому випадку ∑t=0, система рівнянь спрощується і параметри а і b обчислюються за формулами

∑y ∑ty

a = ; b = .

n ∑t²

Для визначення значень t , щоб отримати ∑t = 0, можна викори­стати такі формули:

n+1

t_i = k _i - 2 - при непарному числі членів ряду динаміки;

t_i = 2 k _i - (n+1) - при парному числі членів ряду динаміки;

де k _i - порядковий помер періоду, або моменту часу.

Для обчислення ∑t² можна використати такі формули:

(n-1)*n*(n+1) n*(n²-1)

∑t² = = - при непарному числі членів ряду динаміки;

12 12

(n-1)*n*(n+1) n*(n²-1)

∑t² = = - при парному числі членів ряду динаміки.

3 3

Студент повинен добре знати , що характеризують параметри лінійного рівняння тренд,. а також уміти визначати на його основі прогнозні значення рівнів ряду динаміки.

Типова задача №1

Приклад 1.

Число підприємств громадського харчування в Україні характеризується такими даними на кінець року, тис.

1990 1991 1992 1993 1994 1995

62,7 61,8 64,0 48,4 44,3 40,0

Наведений ряд динаміки – моментний, оскільки облік ведеться на певний момент часу.

Рівні моментного ряду динаміки не підсумковують, оскільки в кожному наступному вміщується величина попереднього.

Приклад 2.

Продаж мяса підприємствами торгівлі країни характеризується такими даними, тис. тонн.

1990 1991 1992 1993 1994 1995

2384 2012 1521 1153 813 513

Це періодичний ряд динаміки, тому що показує зміну обсягу реалізації м’яса за певний період часу (рік). Рівні періодичного ряду можна підсумовувати.

Кожний ряд динаміки можна охарактеризувати за допомогою таких показників: абсолютний приріст, коефіціент росту, темп росту, темп приросту, абсолютне значення одного процента приросту, середній рівень ряду динаміки, середній абсолютний приріст, середній темп росту та приросту.

Типова задача№2

роки	Т-об., млн.грн	Абсол. Приріст, млн.грн		Коеф. зростання Кр		Темп зростання, (Тр), %		Темп приросту (Тпр), %		Абсолютне значення 1 % приросту (А) млн.грн.		Середньорічні коеф. зростання	Середньорічні темпи, %
		баз	лан	баз	лан	баз	лан	баз	лан	баз	лан		зростання	Приросту
1992	20	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
1993	24	4	4	1,2	1,20	120	120	20	20	0,20	0,20	√1,2 = 1,200	120	20
1994	30	10	6	1,5	1,25	150	125	50	25	0,20	0,24	√1,5 = 1,225	122,5	22,5
1995	36	16	6	1,8	1,20	180	120	80	20	0,20	0,30	√1,8 = 1,317	131,7	31,7
1996	54	34	18	2,7	1,50	270	150	170	50	0,20	0,33	√2,7 = 1,282	128,2	28,2

Техніка обчислень

Абсолютний приріст, млн. грн

Базисний Ланцюговий

А=Уп-Уо А=Уп-Уп-1

1993р.=24-20=4 1993р.=24-20=4

1994р.=30-20=10 1994р.=30-24=6

Коефіціент зростання

Кр =Уп К = Уп

Уо Уп-1

1993 = 24 = 1,2 1993= 24 = 1,20

20 20

1994 = 30 = 1,5 1994= 30 = 1,25

20 24

Темп зростання,%

Тр = Уп 100 Тр = Уп 100

Уо Уп-1

1993 = 24 100=120 1993 = 24 100 = 120

20 20

1994 = 30 100 = 150 1994 = 30 100 = 125

20 24

Темп приросту, %

Тпр = Уп-Уо Тпр=Уп-Уп-1

Уо Уп-1

1993 = 24-20 100= 20 1993= 24-20 100 = 20

20 20

1994 = 30-20 100 = 50 1994 = 30-24 100 = 25

20 24

Абсолютне значення одного процента приросту , млн.грн.

А% = Уп-Уо А% = Уп-Уп-1

Тпр(баз) Тпр(ланц)

1993= 24-20 =0,2 млн.грн. 1993 = 24-20 = 0,2 млн.грн.

20 20

1994= 30-20 = 0,2 млн.грн. 1994 = 30-24 = 0,24 млн.грн.

50 25

Середній абсолютний приріст , млн.грн.

А= ∑А = 4+6+6+18 = 34 = 8.5 , або

n 4 4

А = Уп-Уо = 54-20 = 34 = 8,5 млн.грн.

n-1 5-1 4

Середній коефіціент зростання

К = ^n-1√Уп = ^5-1 √54 = ⁴ √2,7 = 1,282

Уо 20

К = ⁿ √ПК = ⁴ √1,2*1,25*1,2*1,5=⁴ √2,7 = 1,282

Висновок: У середньому за період з 1992р. По 1996 рік товарооборот щорічно збільшувався в 1,282 рази, склав 128%(темп росту), або збільшувався на 28,2 %(темп приросту).

Обчислення проводять з допомогою логарифмів, або так званих «Таблиць Айрапетова».