Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесская национальная академия пищевых технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичні вказівки Границі

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2016

Размер:

751.99 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Міністерство освіти і науки України ОДЕСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ХАРЧОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ

Кафедра вищої математики

М е т о д и ч н і в к а з і в к и до практичних занять і самостійної роботи

з курсу «ВИЩА МАТЕМАТИКА» розділ «Границі»

для студентів усіх напрямів підготовки і форм навчання

Затверджено радами спеціальностей

8.091701 Протокол № 4 від 18.01.2010 р.

8.091702 Протокол № 5 від 28.01.2010 р.

8.091711, 8.091722, 6.140181 Протокол № 5 від 29.01.2010 р. 8.091704, 8.091706, 8.091708 Протокол № 2 від 25.02.2010 р.

8.091707, 8.081709, 8.070801 Протокол № 2 від 4.02.2010 р. 8.050106 Протокол № 4 від 2.03.2010 р.

8.050107 Протокол № 2 від 27.01.2010 р.

8.050201, 7.050301, 7.050302 Протокол № 6 від 16.02.2010 р. 8.092501 Протокол № 2 від 24.11.2009 р.

8.090221 Протокол № 4 від 26.04.2010 р.

Одеса ОНАХТ 2010

Методичні вказівки до практичних занять і самостійної роботи з курсу «Вища

математика» розділ «Границі» для бакалаврів усіх напрямів підготовки і форм

навчання /Укладачі Е.Л. Пекарєв, Ю.С.Федченко. - Одеса: ОНАХТ, 2010. - 23

с.

Укладачі Е.Л. Пекарєв, канд.фіз.-мат. наук, доцент Ю.С. Федченко, асистент

Відповідальний за випуск в. о. зав. кафедрою вищої математики В.М. Кузаконь, канд. фіз.-мат. наук, доцент

ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ

Розділ “Границі” є однією з частин програми курсу “Вища математика”, який необхідний для вивчення фундаментальних, загальноінженерних і спеціальних дисциплін, для набуття і розвитку навичок, необхідних для застосування математичних засобів в роботі інженера.

Мета практичних занять- розвиток навичок, які використовуються при практичному застосуванні математики.

В результаті вивчення даного матеріалу студент повинен:

1)вміти розв’язувати математичні задачі та зводити розв’язки до практично прийнятого результату, а також розвинути логічне і алгоритмічне мислення;

2)набувати навичок математичного дослідження прикладних питань

(застосування математичних засобів для розв’язання заданих практичних задач, вибір оптимального розв’язку, інтерпретація та оцінка отриманих результатів);

3)самостійно опрацьовувати математичні тексти, що містяться в літературі, пов’язаній зі спеціальністю студента;

4)вміти застосовувати всі нові сучасні обчислювальні засоби, а також користуватися таблицями та довідниками.

Виходячи з перерахованих вище основних задач викладання математики і враховуючи інтереси спеціальностей, авторами розроблено дані методичні вказівки.

Контроль успішності та якості навчання здійснюється з використанням методів і засобів, що визначаються вищим навчальним закладом. Академічні успіхи студентів визначаються за допомогою систем оцінювання, що використовуються у вищому навчальному закладі з обов’язковим переведенням оцінок до національної шкали та шкали ECTS.

§1. ОСНОВНИЙ ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ.

1. Границя числової послідовності

Означення. Якщо за деяким законом кожному натуральному числу n

поставлено у відповідність деяке значення xn ,	то кажуть, що задана числова
послідовність xn :
x1 ,x2, ,...,xn ,...
Інакше кажучи, числова послідовність	-	це функція натурального
аргументу:
xn f n , n N		(1)

Число x1 називається першим членом (елементом) послідовності, x2 — другим,..., xn — загальним або n -м членом послідовності.

Найчастіше послідовність задається формулою його загального члена. Формула (1) дозволяє обчислити будь-який член послідовності за номером n , за нею можна відразу обчислити будь-який член послідовності. Так, рівності

yn n2 1,	zn 1 n n ,	un	1	,	vn	n 1	,	n N
			n			n

задають відповідно послідовності

yn 2,5,10,..., n2 1,... ;

		1		1		1		1
un	1,		,		,		,...,		,...	;
un	1,	2	,	3	,	4	,...,	n	,...	;
		2		3		4		n

zn 1,2, 3,4,..., 1 n n,... ;

		1		2		3		4		5		n 1
vn	0,		,		,		,		,		...,		,... .
		2		3		4		5		6		n

Послідовність xn називається обмеженою, якщо існує таке число M 0 , що

для будь-якого n N виконується нерівність

хn M .

У протилежному випадку послідовність називається необмеженою. Легко бачити, що послідовності un й vn обмежені, а yn й zn — не обмежені.

Послідовність xn називається зростаючою (неспадною), якщо для будьякого n виконується нерівність xn 1 xn ( xn 1 xn ). Аналогічно визначається

спадна (незростаюча) послідовність. Іноді зростаючі (спадні) функції називають строго зростаючими (сторого спадними), а неспадні (незростаючі) функції просто зростаючими (спадними).

Всі ці послідовності називаються монотонними послідовностями. Послідовності yn , un й монотонні, zn — не монотонна.

Якщо всі елементи послідовності xn дорівнюють одному числу c , то її

називають стаціонарною.

Інший спосіб задання числових послідовностей — рекурентний спосіб. У

ньому задається початковий елемент x1 (перший член послідовності) і правило
визначення n -го елемента за n 1 -м: xn f xn 1 . Таким чином,	x2 f x1 ,

x3 f x2 і т.д. При такому способі задання послідовності для знаходження 100-

го члена мають на увазі, що спочатку прораховують всі 99 попередніх. Розглянемо числову послідовність

0,	3	,	2	,
	2		3

5			1	n
5	, ...,	1+		, ... (не монотонна, обмежена).
	, ...,	1+		, ... (не монотонна, обмежена).
4			n

Зобразимо її члени точками числової осі (рис. 1).

x	x3		x		x		x		x	x x			x	2
1			x		x	7	x	9	x	x x				2
			5			7		9	10	8	6
0		2	4 6 8					1	10 9 7		5		3		xn
	3
	3		5 7 9						9 8 6		4		2
								Рис. 1
Можна побачити, що	члени			послідовності								xn	з ростом n		як завгодно

близько наближаються до 1. При цьому абсолютна величина різниці xn 1 стає все менше й менше. Дійсно:

	x 1	1	,	x	2	1		1	,	x	3	1			1	,	x	4	1		1	, …,	x	n	1	1	, …,


	1						2							3						4						n
									xn 1
													буде менше кожного, як завгодно малого додатнього
тобто з ростом n

числа.

Означення. Число а називається границею числової послідовності xn

при умові n , якщо для будь-якого, навіть як завгодно малого додатнього числа знайдеться такий номер N ( що залежить від , N N ), що для

всіх членів послідовності з номерами n N вірна нерівність

xn a .

	8
У цьому випадку пишуть lim xn a	або xn a коли n і кажуть, що
n

послідовність xn (або змінна xn , що пробігає послідовність x1 ,x2, ,x3 ,... ) має

границю, яка дорівнює числу а (або xn прямує до а). Коротке означення границі можна записати так:

0 N : n N xn a lim xn a

Послідовність, що має границю, називається збіжною, у протилежному випадку — розбіжною.

Кожна збіжна послідовність має лише одну границю.

Приклад .									Довести, що lim								n 1		1
Приклад .									Довести, що lim										1	.
															n n					.
Рішення. За означенням, число 1 буде границею послідовності xn																																									n 1	,
																																										,
																																									n
n N , якщо
0					знайдеться натуральне число N , таке, що для всіх n N виконується
							n 1		1		, тобто		1			. Вона справедлива для всіх																		n			1
нерівність							n 1						1																								1	.
нерівність																																						.
							n							n
Зауважимо, що число N залежить від . Так, якщо																															3			, то
Зауважимо, що число N залежить від . Так, якщо																															26			, то
																															26
N	1				26	8		2		; якщо 0.01, тоді									N	1			100 .
		3			3			3													1
26																				100
Тому іноді записують N N .
Приклад . Довести, що lim xn 1, де																					xn	1			1 n .
												n															n
																																						n
																																						n
Рішення. Нехай, наприклад,																		0,1. Тоді						xn	1			0.1 або				1			1				1	0.1			,
Рішення. Нехай, наприклад,																		0,1. Тоді						xn	1			0.1 або				1							1	0.1			,
																																				n


тобто			1	виконується при n 10 . Аналогічно для 0.01																													xn 1			0.01 коли
			1

			n
			n
n 100.
																		xn 1			або					1			виконується якщо n														1	.
Для будь-якого 0 нерівність																										1																	1
Для будь-якого 0 нерівність
																										n			1
																										n
Отже, для будь-якого 0 існує такий номер N																														, що для всіх n N
Отже, для будь-якого 0 існує такий номер N																														, що для всіх n N

виконується нерівність												xn 1			, а це й означає, що lim xn 1.
виконується нерівність												xn 1			, а це й означає, що lim xn 1.
																												n

			9
Стаціонарна послідовність xn		c , n N має границю, яка дорівнює числу c ,
тобто lim c c . Дійсно, для ε > 0		при всіх натуральних n виконується
n
нерівність	ε.
Розглянемо послідовності xn , yn ,			zn .
Теорема. Якщо lim xn a ,	lim yn b ,		і, починаючи з деякого номера
n	n
виконується нерівність xn yn , тоді a b .
Теорема. Якщо lim xn a ,	lim yn a і справедлива нерівність xn zn yn
n	n

(починаючи з деякого номера), тоді lim zn a .

Не всяка послідовність має границю. Сформулюємо ознаку існування границі послідовності.

Теорема Вейєрштрасса. Будь-яка монотонна обмежена послідовність має границю.

2. Границя функції в точці

Нехай функція y f (x) визначена в деякому околі точки x0 , окрім, можливо, самої точки x0 .

Сформулюємо два, еквівалентних між собою, означення границі функції в точці.

Означення	(за Гейне). Число		A називається границею функції y f (x) у
точці x0 (або	коли	x x0 ), якщо	для	будь-якої послідовності допустимих
значень аргументу		x n , n N(xn x0 ) ,		що збігається до x0 , послідовність

відповідних значень функції f (xn ) ,	n N , збігається до числа A .
У цьому випадку пишуть lim f (xn ) A або f (x) A коли x x0 .
x x0
Означення (за Коші). Число	A називається границею функції в точці x0

(або коли x x0 ), якщо для будь-якого додатнього знайдеться таке додатнє

число , що для всіх	x x0 , які задовольняють нерівність		x x0		,

виконується нерівність f (x) A .

Записують lim f (xn ) A . Це означення коротко можна записати так:

x x0

0 0 : x x0 , x x0 f (x) A .

Приклад. Довести, що lim(2x 1) 5.

x 3

Рішення. Функція f (x) 2x 1. Візьмемо довільне 0 , знайдемо ( ) 0

таке, що для всіх x , які задовольняють нерівність

x 3

, виконується

нерівність

(2x 1) 5

, тобто

x 3

. Взявши

, бачимо, що для всіх x ,

які задовольняють нерівність	x 3	(	) , виконується нерівність	(2x 1) 5	.
які задовольняють нерівність	x 3	(	) , виконується нерівність	(2x 1) 5	.
			2
Отже, lim(2x 1) 5.			2
Отже, lim(2x 1) 5.
x 3

3. Односторонні границі

В означенні границі функції

lim f (x) A вважається, що x прямує до x0

x x0

будь-яким способом: залишаючись меншим, чим x0 (ліворуч від x0 ), більшим, ніж x0 (праворуч від x0 ), або коливаючись біля точки x0 .

Означення. Число A1 називається лівою односторонньою границею функції y f (x) у точці x0 , якщо для будь-якого числа 0 існує число ( ) 0 таке,

що коли x (x0 ; x0 ) , виконується нерівність				f (x) A1	.
що коли x (x0 ; x0 ) , виконується нерівність				f (x) A1	.
Ліву	односторонню границю записують			так: lim f (x) A1		або	коротко:
				x x0 0
f (x0 0) A1 (позначення Дирихле).
Аналогічно визначається права одностороння границя функції.
Означення. Число A2		називається	правою односторонньою				границею
функції	y f (x) у точці	x0 , якщо для	будь-якого числа 0			існує число

( ) 0	таке, що коли x (x0 ; x0 ) , виконується нерівність		f (x) A2		.

Коротко праву односторонню границю записують f (x0 0) A2 .
Якщо існує lim f (x) A , то існують й обидві односторонні границі,	причому
x x0
A A1 A2 .
Справедливо й зворотне твердження: якщо існують обидві границі	f (x0 0)

й f (x0 0) і вони рівні, то існує границя A lim f (x) і A f (x0 0) f (x0 0) .

x x0

Якщо ж A1 A2 , то lim f (x) не існує.

x x0

4. Границя функції в нескінченності

З поняттям границі числової послідовності xn f n тісно пов’язане поняття функції y f (x) в нескінченності. Якщо у першому випадку змінна n , зростаючи, приймає лише цілі значення, то у другому випадку змінна x , змінюючись, приймає будь-які значення.

Означення. Число A називається границею функції y f (x) коли x , якщо для будь-якого, навіть як завгодно малого додатнього числа 0 ,

знайдеться таке додатнє число S 0		S S , що для всіх x	таких, що х S ,
справедлива нерівність
	f x A		(5)
	f x A		(5)

Ця границя функції позначається lim

f (x) A.

Аналогічно визначається границя функції за умови x .

Якщо існують рівні між собою границі функції lim

f (x) lim f (x)

, то

кажуть, що існує границя функції коли x . lim f (x) lim

f (x) lim

f (x) .

Приклад . Довести, що lim

5x 1

Рішення. Функція

f (x)

5x 1

. Для будь-якого 0 нерівність (5)

5x 1

або

виконується коли

Отже, для кожного 0 існує таке число S

0, що для всіх

S, буде

вірною нерівність

f (x) 5

, де

f (x)

5x 1

; а це й

lim f (x) 5.

x , таких, що

означає, що

5. Нескінченно малі функції

Означення. Функція y f (x) називається нескінченно малою(н.м.) коли

x x0 , якщо lim f (x) 0 .
x x0
За означенням границі функції рівність			lim f (x) 0 означає: для будь-якого
			x x0
числа 0 знайдеться число 0 таке,			що для всіх			x , що задовольняють
нерівності 0	x x0	, виконується нерівність		f (x)	.	0 , x , x : у
нерівності 0	x x0	, виконується нерівність		f (x)	.
Аналогічно визначається н.м. ф. коли x x0				0 , x x0
всіх випадках f (x) 0 .

Нескінченно малі функції часто називають нескінченно малими величинами або нескінченно малими; позначають звичайно грецькими буквами , й т.д.

Прикладами н.м. ф. є функції y x2 коли x 0 ; y x 2 коли x 2 .

Відмітимо властивості нескінченно малих величин:

1.Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих функцій є нескінченно мала функція.

2.Добуток обмеженої функції на нескінченно малу функцію є функція нескінченно мала.

3.Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, що має відмінну від нуля границю, є функція нескінченно мала.

Приклад . Показати, що функція	f x x 1 2 sin 3	1	коли	x 1 є

		x 1
нескінченно малою.

f x A x .

Рішення. Оскільки lim x 1 2

0 , тоді функція x x 1 2 є нескінченно

x 1

малою коли x 1. Функція g x

sin 3

обмежена

sin 3

1. Функція

x 1

f x x 1 2 sin 3

добутком обмеженої функції g x

на нескінченно малу

x 1

x . Виходить,

f (x)

— нескінченно мала коли x 1.

Теорема. Якщо функція f (x) має границю, яка дорівнює A, то її можна

подати як суму числа А і нескінченно малої функції x

тобто якщо

lim f (xn ) A , то

x x0

І навпаки, якщо функцію f (x) можна подати у вигляді суми числа А й нескінченно малої функції x , то число А є границею функції f (x) , тобто

якщо f x A x , то lim f (xn ) A .
	x x0
6. Нескінченно велика функція
Означення. Функція y f (x)		називається нескінченно великою(н.в.) коли
x x0 ,	якщо для будь-якого числа	M 0	існує таке число (M ) 0, що для
всіх x ,	що задовольняють нерівності		0	x x0	, виконується нерівність
всіх x ,	що задовольняють нерівності		0	x x0	, виконується нерівність

f (x)

M . Записують lim

f (x) або

f (x) коли x x0 .

x x0

Коротко: (M 0 0x :

x x0

, x x0

f (x)

M ) lim f (x)

x x0

Наприклад, функція

є н.в. ф. коли x 2 .

x 2

Якщо f (x)

прямує до нескінченності коли x x0

й приймає лише додатні

значення, то

пишуть

lim f (x) ; якщо лише

від’ ємні значення, то

x x0

lim f (x) .

x x0

Функція

y f (x) ,

яка задана

на

всій числовій прямій, називається

нескінченно великою коли x , якщо

для будь-якого числа M 0 знайдеться

таке число N N(M ) 0 , що для всіх x ,

N , виконується нерівність

f (x)

M .

Коротко:

( M 0 N 0 x :

f (x)

M ) lim f (x) .

Наприклад, y 2x

є н.в. ф. коли x .

Відмітимо властивості нескінченно великих величин:

1.Добуток нескінченно великої величини на функцію, границя якої відмінна від нуля, є величина нескінченно велика.

2.Сума нескінченно великої величини й обмеженої функції є величина нескінченно велика.

3.Частка від ділення нескінченно великої величини на функцію, що має границю в точціі x0 , є величина нескінченно велика.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.09.2019278.53 Кб26методичка по моделированию праздника.doc
#
09.02.2016222.72 Кб23Методичка по реінжинірінгу.doc
#
09.02.2016695.3 Кб21методичка по статистике.doc
#
19.11.2019506.37 Кб6методичка по ТВС.doc
#
23.11.201944.71 Кб2Методичка по турдеятельности.docx
#
09.02.2016751.99 Кб15Методичні вказівки Границі.pdf
#
12.11.2019705.02 Кб1Методичні вказівки до індивідуальної роботи.doc
#
09.11.20194.58 Mб13Методичні вказівки до самостійної роботи з пред...doc
#
09.02.2016154.11 Кб16Микроэкономика.doc
#
09.02.20162.15 Mб15Милованов СТК-пос(правленый)А5.docx
#
26.11.201824.57 Кб1МКВ и ВО Славна.docx