ЛЕКЦИЯ_1 / Основы теории автоматического управления - УП - Лазарева-Мартемьянов - 2004 - 352

Раздел10

1 А Для доказательства нелинейности системы автоматического управления проводят эксперимент, состоящий из трех опытов. В первом опыте на вход нелинейной системы подается входной сигнал x1 и

в установившемся режиме фиксируется сигнал y1 = f (x1) на выходе системы. Во втором опыте подается входной сигнал x2 и фиксируется выходной сигнал y2 = f (x2 ) . В третьем опыте на вход системы подается сигнал x3 , равный сумме первых двух, т.е. x3 = x1 + x2 и аналогичным образом фиксируется сигнал y3 = f (x3) . После завершения эксперимента необходимо проверить выполнение принципа суперпозиции: y3 = y1 + y2 . Для нелинейной системы принцип суперпозиции не имеет места, т.е. в результате сравнения получают неравенство y3 ≠ y1 + y2 , что и подтверждает нелинейность системы.

В Статические нелинейности – это нелинейности статических характеристик. Выходная переменная статических нелинейных звеньев в каждый момент времени зависит только от значения входной переменной в тот же момент времени и не зависит от того, как эта входная переменная изменялась до рассматриваемого момента времени. Вход и выход нелинейного звена связаны между собой нелинейной статической характеристикой.

Динамические характеристики – это нелинейности дифференциальных уравнений, описывающих звено, например,

(y′(t))2 + y(t) = kx(t) .

С Типовыми нелинейными элементами, которые также называются типовыми нелинейными звеньями, являются звено с зоной нечувствительности, усилительное звено с зоной насыщения, двухпозиционное реле и др.

2 А Статические характеристики типовых нелинейных элементов, а также большинства других нелинейных элементов, не относящихся к типовым, представляют собой кусочно-линейные функции. При подаче на вход элементов гармонического сигнала в зависимости от его амплитуды будет работать либо вся статическая характеристика, либо ее часть. Например, при исследовании звена с зоной насыщения – B при малых амплитудах A ≤ B звено будет вести себя как линейное, а при больших амплитудах входного сигнала A > B – как нелинейное. Таким образом, частотные характеристики, называемые для нелинейных элементов эквивалентными, зависят как от частоты, так и амплитуды входного сигнала Wнэ(iω, A) , для нечастотопреобразующих элементов частотные характеристики зависят только от ампли-

туды входного сигнала Wнэ(iω, A) .

чество которых определяется характером нелинейности, следовательно, и состояний равновесия будет несколько.

С В нелинейных системах могут наблюдаться незатухающие колебания, обусловленные внутренними свойствами системы, которые получили название автоколебаний.

3 А Нелинейность называется слабой, если она может быть заменена линейным элементом без изменения принципиальных особенностей системы. Для линеаризации таких нелинейностей применяют разложение статической характеристики yнэ = fнэ(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 , считая после

этой операции

yнэ ≈ ax + b ,

где a = fнэ′ (x0 ) , b = fнэ(x0 ) − fнэ′ (x0 )x0 ; x0 – любая точка рассматриваемой области.

Процессы в полученной линеаризованной системе не должны качественно отличаться от процессов в реальной системе.

В Гармоническая линеаризация применяется к нелинейным системам, характеризуемым неаналитическими, разрывными и неоднозначными нелинейностями. Кроме того, рассматриваемые нелинейные системы должны быть нечастотопреобразующими, на выходе иметь периодические колебания и для них должна выполняться гипотеза фильтра. При выполнении всех перечисленных условий выходной периодический сигнал можно разложить в ряд Фурье, оставив в результате проведения линеаризации только первые гармоники.

С В результате проведения гармонической линеаризации нелинейной системы в рассмотрение вводятся частотные характеристики, получившие название эквивалентных, так как они получены для линеаризованной системы: эквивалентная амплитудно-частотная характеристика M нэ(A) , эквивалентная

фазочастотная характеристика ϕнэ(A) , эквивалентная амплитудно-фазовая характеристика Wнэ(iA) . В соответствии с определением частотных характеристик

Wнэ(iA) = Mнэ(A)eiϕнэ(A) .

Раздел11

1 А Особая траектория, представляющая собой изолированную замкнутую кривую, называется предельным циклом. Предельный цикл может быть устойчивым, если все фазовые траектории на него "наматываются", и неустойчивым, если фазовые траектории с него "сматываются", уходя в бесконечность.

В Сепаратриса – особая траектория, представляющая собой кривую, разделяющую фазовый портрет на области с различным характером фазовых траекторий.

С Типичный фазовый портрет нелинейной системы состоит из областей с различным характером фазовых траекторий, разделенных между собой сепаратрисами. В каждой области характер фазовой траектории определяется особой точкой.

2 А Изоклиной называется кривая, представляющая геометрическое место точек, в которых касательные ко всем интегральным кривым наклонены под одним и тем же углом к оси абсцисс.

В При построении фазового портрета методом изоклин необходимо знать систему дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, для которой строится фазовый портрет.

С Метод изоклин имеет невысокую точность и носит качественный характер, так как фазовая траектория определяется по направлению касательных к ней; начальная точка определяется произвольно.

3 А Построение фазового портрета методом припасовывания производится в следующей последовательности:

–выбираются или задаются начальные условия;

–интегрируется система линейных уравнений для того линейного участка, на который попали начальные условия, до момента выхода на границу следующего участка;

–производится припасовывание начальных условий.

В При построении фазовых портретов методом сшивания фазовые траектории линейных участков "сшиваются" желаемым образом, т.е. на границе конечные значения не принимаются за начальные для граничащих участков. Конечные значения предыдущего участка рассчитываются – какие получились, такие получились, а начальные условия для последующего участка задаются желаемым образом.

С Метод "сшивания" используется при построении фазовых портретов систем с переменной структурой. При переходе изображающей точки через границы заранее установленных областей, система изменяет свою структуру.

Раздел12

1 А Движение называется невозмущенным, если оно получено в результате рассмотрения идеализированной системы. Движение с учетом возмущений, возникающих в реальной системе, называется возмущенным.

В Смысл понятия устойчивости движения по Ляпунову состоит в том, что движение устойчиво, если при достаточно малом начальном сдвиге точки M0* от M0 , точка M * в последующем движении дос-

таточно близка к M . Если эти точки будут неограниченно сближаться, то траектория возмущенного движения будет возвращаться на траекторию невозмущенного движения, и тогда такое движение будет называться асимптотически устойчивым.

С Первый метод Ляпунова включает три теоремы:

1Если линейная система первого приближения устойчива, то соответствующее состояние равновесия нелинейной системы устойчиво по Ляпунову.

2Если линейная система первого приближения неустойчива, то соответствующее состояние равновесия нелинейной системы неустойчиво по Ляпунову.

3Если линейная система первого приближения находится на границе устойчивости, то судить об устойчивости исходной нелинейной системы по уравнениям первого приближения нельзя. Необходимо рассматривать исходную нелинейную систему.

2 А В основе второго метода Ляпунова лежит теорема Дирихле, согласно которой равновесие устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум.

В Для того, чтобы доказать, что нелинейная система устойчива, необходимо построить функцию V (y1, y2 , ..., yn ) , которая должна быть знакоопределенной функцией, а ее производная по времени в силу

дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, знакопостоянной функцией противоположного с V знака или тождественно равна нулю.

С Второй метод Ляпунова доказывает устойчивость нелинейной системы в "большом". Для подтверждения этого факта рассматривается геометрическая иллюстрация. Пусть V (y1, y2 , ..., yn ) знакоопре-

деленная положительная функция V > 0 , тогда ей в фазовом пространстве соответствуют эллипсоиды, причем каждый последующий содержит внутри себя целиком предыдущий. Производная по времени от этой функции dV / dt < 0 , что свидетельствует о том, что изображающая точка перемещается по фазовой траектории на внутреннюю поверхность, неограниченно приближаясь к состоянию равновесия, она уже никак не может выйти за пределы тех эллипсоидов, в которые проникла. Как только dV / dt = 0 , то изображающая точка останавливается на соответствующей поверхности, что и доказывает устойчивость в "большом".

3 А Абсолютной устойчивостью равновесия называется устойчивость в целом, имеющая место для всех характеристик Φ(x) , принадлежащих определенному классу.

В Видоизмененная амплитудно-фазовая характеристика W *(iω) линейной части получается из исходной W (iω) по следующим соотношениям:

ReW *(iω) = ReW (iω) ;

ImW *(iω) = ωImW (iω) .

С Для геометрической трактовки критерия абсолютной устойчивости рассматривается плоскость видоизмененной частотной характеристики W *(iω) линейной части системы. Для абсолютной устойчивости

равновесия достаточно, чтобы на плоскости АФХ W *(iω) можно было провести прямую через точку (−1/ K; i0) так, чтобы W *(iω) целиком располагалась справа от этой прямой.

Раздел13

1 А При изучении режима автоколебаний необходимо ответить на вопросы: существуют автоколебания или нет; если существуют, то устойчивы они или нет, и каковы параметры автоколебаний – частота

иамплитуда.

ВВ режиме мягкого возбуждения при значении a1 , характеризующем нелинейную систему и кото-

рый можно изменять, образуется устойчивый предельный цикл бесконечно малых размеров, который начинает распухать, достигая в конце концов конечных значений. При режиме жесткого возбуждения образуются как бы слипшиеся друг с другом два предельных цикла конечных размеров, один из них устойчив, другой – нет. Дальнейшее изменение параметра a позволяет неустойчивый предельный цикл сжать до точки, а устойчивый будет распухать, увеличиваясь в размерах.

В обоих случаях состояние равновесия будет неустойчивым, а автоколебания – устойчивыми.

С Автоколебания будут устойчивыми, если на фазовой плоскости на соответствующий им предельный цикл фазовые траектории наматываются.

2 А Критерий Бендиксона используется для ответа на вопрос о существовании в рассматриваемой системе режима автоколебаний. Так для нелинейной системы второго порядка, описываемой системой дифференциальных уравнений

где F1(y1, y2) , F2 (y1, y2 ) – нелинейные аналитические функции на всей фазовой плоскости, исследуется

выражение ∂F1 + ∂F2 . Если это выражение знакопостоянно, то в этой области замкнутых фазовых траек-

∂y1 ∂y2

торий не существует, т.е. не существует режима автоколебаний.

В Функция y12 = f (y11) называется функцией последования. Здесь y11 – значение фазовой координаты y1 при первом пересечении положительной полуоси y1 ; y12 – значение фазовой координаты y1 при втором пересечении.

С Для определения в нелинейной системе существующего режима анализируются значения фазовой координаты y1 при ее пересечении фазовой траекторией. Если y11 , y12 – значения фазовой координа-

ты при первом и втором пересечении ее фазовой траекторией, то при y11 = y12 на фазовой траектории будет предельный цикл, соответствующий режиму автоколебаний. Если же y11 < y12 , то в системе будет наблюдаться затухающий процесс, а при y11 > y12 процесс в системе будет расходящимся.

3 А Для применения метода гармонического баланса линейная часть нелинейной системы должна быть фильтром высоких частот и описываться амплитудно-фазовой характеристикой Wл(iω) . Амплитудно-

частотная характеристика должна удовлетворятьусловию M л(ω0 ) >> M л(2ω0 ) .

В В основе доказательства существования в системе автоколебаний лежит тот факт, что исходная нелинейная система заменяется линеаризованной системой, в которой возникновение незатухающих колебаний возможно только в единственном случае, когда эта система находится на границе устойчивости. В этом случае амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы согласно критерию Найквиста должна проходить через точку (−1; i0), т.е. Wл(iω)Wнэ(iA) = −1.

С Аналог критерия Найквиста для исследования устойчивости автоколебаний формулируется следующим образом: если АФХ линейной части не охватывает инверсную АФХ нелинейного элемента, т.е. Wл(iω) < −Zнэ(iA) , то замкнутая система будет устойчивой.

Раздел14

1 А Интегральный квадратичный критерий для нелинейных систем записывается в виде

∞

I = ∫F 2 (x)dt ,

0

где y = F(x(t)) – характеристика нелинейного элемента.

В На класс нелинейных функций F(x) накладываются ограничения вида 0 < F(xx) < k2 с целью вы-

числения интеграла качества, так как в самом общем виде оценить его не представляется возможности. С Говорят, что нелинейная система обладает затуханием или степенью устойчивости δ0 не меньше

заданной, если для отклонения процесса ξ(t) от вынужденного или отклонения координат от положения равновесия при любых t остается справедливым неравенство ξ(t) = y(t) − y1(t) ≤ Me−δ0t , где M − const.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1Алексеев А. А., Имаев Д. Х., Кузьмин Н. Н., Яковлев В. Б. Теория управления: Учебник. СПб.:

ЛЭТИ, 1999. 435 с.

2Софиева Ю. Н., Софиев А. Э. Теория автоматического управления. М.: МИХМ, 1975. 165 с.

3Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / Под ред. В. А. Бесекер-

ского. М.: Наука, 1978. 512 с.

4Теория автоматического управления. Ч. 1 / Под ред. А. А. Во-ронова. М.: Высшая школа, 1986.

367 с.

5Теория автоматического управления. Ч. 2 / Под ред. А. А. Во-ронова. М.: Высшая школа, 1986.

504 с.

6Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления: Учебное пособие для вузов. М.:

Наука, 1986. 616 с.

7Лукас В. А. Теория автоматического управления. М.: Недра, 1990. 416 с.

8Попов В. Л. Теория линейных систем регулирования и управления. М.: Наука, 1989. 304 с.

9Ротач В. Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем регулирования. М.: Энер-

гия, 1973. 440 с.

10Теория автоматического управления: Сборник задач и контрольных вопросов / Сост. Ю. Н. Со-

фиева. М., 1974. 92 с.

11Фельдбаум А. А., Бутковский А. Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971. 744 с.

12Ротач В. Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами. М.: Энергоатомиздат, 1985. 296 с.

13Дудников Е. Г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов. М.: Госэнергоиз-

дат, 1956. 264 с.

14СТЕФАНИ Е. П. ОСНОВЫ РАСЧЕТА НАСТРОЕК РЕГУЛЯТОРОВ И ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ. М.: ЭНЕРГОИЗДАТ, 1982. 352 С.

15 Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие длявтузов. М.: Наука, 1989. 389 с.

16Теория автоматического управления. Ч. 1 / Под ред. А. В. Не-тушила. М.: Высшая школа, 1978.

424 с.

17Теория автоматического управления. Ч. 2 / Под ред. А. В. Нетушила. М.: Высшая школа, 1972.

432 с.

18Попов Е. П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Нау-

ка, 1998. 256 с.

19Лазарева Т. Я., Мартемьянов Ю. Ф. Линейные системы автоматического регулирования. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2001. 264 с.