ЛЕКЦИЯ_1 / Основы теории автоматического управления - УП - Лазарева-Мартемьянов - 2004 - 352

iIm(ω)

A∞ –ZНЭ(iA)

WЛ(iω)

ω= 0

8 Параметры автоколебаний определяются из следующей системы уравнений

A∞

Re(ω)

10Основное уравнение, используемое в методе гармонического баланса, имеет вид

АWл(iω)Wнэ(iA) = −1;

В Wл(iω) +Wнэ(iA) = −1;

С Wл(iω) =Wнэ(iA).

14КАЧЕСТВО НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

14.1Методы определения качества регулирования

нелинейных систем

Вблизи границы устойчивости качество процесса регулирования ухудшается, это обстоятельство дает полагать, что любой критерий устойчивости может послужить основой для выработки тех или иных оценок качества процесса.

В линейных системах все критерии устойчивости устанавливают неравенство, дающее условия нахождения всех корней характеристического уравнения слева от мнимой оси. Как известно, одним из таких показателей является степень устойчивости, но на практике качество оценивается по иным прямым показателям качества, с которыми устанавливается связь через степень устойчивости.

С помощью критерия Попова понятие степени устойчивости может быть использовано и для нелинейных систем.

Говорят, что нелинейная система обладает затуханием или степенью устойчивости δ0 не меньше заданной, если для отклонения процесса ξ(t) от вынужденного или отклонения координат от положения равновесия при любых t остается справедливым неравенство

Если этот предел будет равным нулю, т.е. limξ(t)eδ0t = 0,

t →∞

то это означает, что ξ(t)→ 0 быстрее, чем e−δ0t .

По аналогии с линейными системами для оценки качества нелинейной системы можно применить интегральную квадратичную оценку

где y – выходная координата нелинейного элемента.

В общем виде определить или оценить величину интеграла (14.3) не представляется возможным. Но, если наложить некоторые ограничения на класс нелинейных функций F(x) , то оценка величины ин-

теграла становится возможной.

Рис. 14.1 Класс нелинейных функций

Дополнительное ограничение, налагаемое на функцию F(x) , сводится к следующему. Рассматривается класс функций, удовлетворяющих условию

Касательная, проведенная из начала координат F(x) , имеет угловой коэффициент k0 , причем k0 < k2 , и кривая F(x) лежит ниже касательной во всех точках, кроме точки касания (рис. 14.1).

Для введения оценки выбирается промежуточный параметр k1 , заключенный между k0 и k2 :

k0 < k1 < k2,

причем

k1 = k20k+0kk22 .

Оценка:

величины близки, пользоваться оценкой не имеет смысла.

14.2 Тренировочные задания

1 В нелинейных системах для исследования качества регулирования используют критерии устойчивости, из которых выводят такой показатель как степень устойчивости. Также для оценки качества регулирования используют интегральные критерии качества.

затуханием?

14.3 Тест

1 Для затухания системынеобходимо, чтобывыполнялосьусловие

А | y(t) − y1(t) |= Me−δ0t .

В | y(t) − y1(t) |> Me−δ0t .

С | y(t) − y1(t) |< Me−δ0t .

2 Для расчета интегрально-квадратичного критерия качества используют:

А Эквивалентную АФХ нелинейного элемента.

В Статическую характеристику нелинейного элемента.

С Инверсную частотную характеристику нелинейного элемента.

15 РЕШЕНИЕ ТРЕНИРОВОЧНЫХ ЗАДАНИЙ

Раздел1

1 А Совокупность технических средств, выполняющих некоторый процесс, называется объектом управления. Примером объекта управления, например, является процесс ректификации, центрифуга идр.

В Входные переменные являются управляющими, если они служат для поддержания управляемой переменной в соответствии с некоторым законом управления.

С Переменная, которую необходимо поддерживать в соответствии с некоторым законом управления, называется управляемой.

2 А В АСР, изображенной на рис. 1.2, реализованы принципы регулирования по отклонению и по возмущению.

В Если регулятор изменяет регулирующее воздействие при отклонении регулируемой переменной от заданного значения (∆y(t) = = y(t) – yзад), то такой принцип регулирования называется регулированием по отклонению, ∆y(t) называется отклонением или ошибкой управления.

С Наиболее эффективной является комбинированная система регулирования.

3 А Линейная система относится к классу систем по основным видам уравнений динамики процессов управления.

В Класс "характер функционирования" делится на: а) системы стабилизации; б) системы программного регулирования; в) следящие системы;

г) системы оптимального управления; д) адаптивные системы.

С Класс "характер подачи сигналов" подразделяется на:

а) непрерывные системы; б) дискретные системы, в которых выделяют импульсные,

релейные, цифровые.

Раздел2

1 А Сигнал называется регулярным, если его математическим представлением является заранее заданная функция времени.

В Существуют временное и частотное представления сигналов.

С К основным типам регулярных сигналов относятся: периодический, почти периодический и непериодический.

2 А Преобразованием Фурье называется оператор

∞

F(iω)= ∫ f (t)e−iωt dt .

−∞

В Характерными свойствами спектра периодического сигнала являются:

а) спектры всегда дискретны, частоты основных гармоник кратны основной частоте;

б) чем больше период сигнала T, тем "гуще" спектр; при T → ∞ получают непериодическую функцию;

в) с уменьшением длительности импульсов при постоянном периоде амплитуды гармоник уменьшаются, а спектр становится "гуще";

г) если с уменьшением длительности прямоугольных импульсов увеличивать амплитуды по закону A0 = 1/τ, то их последовательность стремится к последовательности дельта-функций, а амплитудный спектр – к постоянному для всех частот значению Аn = 1/Т.

С Спектральной характеристикой непериодической функции называется величина

F(iω)= π ddAω ,

где А – бесконечно малые амплитуды периодической функции.

3 А Дельта-функцией называется функция, удовлетворяющая условиям:

0 при t ≠ 0;

δ(t) = ∞ при t = 0;

∞

∫δ(t)dt =1.

−∞

В Сигнал в виде единичного скачка на исследуемом объекте подают путем резкого открытия вентиля, чтобы расход подаваемого вещества изменялся скачком на единицу.

С Гармонический сигнал характеризуется амплитудой, периодом и фазой.

Раздел3

1 А Уравнениями статики называются уравнения, описывающие поведение системы регулирования в установившемся режиме при постоянных воздействиях.

Статической характеристикой объекта (системы) называется зависимость выходной величины от входной встатическом режиме.

В Уравнениями динамики называются уравнения, описывающие поведение системы регулирования при неустановившемся режиме и произвольных входных воздействиях.

С Гидравлический резервуар, электрическая емкость, непрерывный химический реактор полного перемешивания описываются обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами первого порядка.

2А Для доказательства линейности системы проводят эксперимент, состоящий из трех опытов:

1опыт: на вход системы подается входной сигнал x1(t) и определяется выходная координата y1(t) в установившемся режиме;

2опыт: на вход системы подается другой сигнал x2(t) и определяется координата y2(t);

3опыт: на вход системы подается сигнал, равный сумме входных сигналов x3(t) = x1(t) + x2(t), и определяется выходная координата y3(t). Далее проверяется выполнение соответствия y3(t) = y1(t) + y2(t) для любого момента времени. Если оно выполняется, то выполняется принцип суперпозиции, и система, следовательно, является линейной.

В Основными динамическими характеристиками, используемыми в теории автоматического управления, являются: передаточная функция, дифференциальное уравнение, переходная функция, весовая функция, частотными характеристикими: амплитудно-фазовая, амплитудно-частотная, фазочастотная, вещественно-частотная.

ССхема расчета динамики с помощью временных характеристик состоит из следующих этапов:

1)выбирается стандартный сигнал на входе

ν(t) = (ν(t), …, νn(t));

2) входной сигнал произвольной формы представляется как суперпозиция стандартных сигналов x(t) = α1ν(t) + α2ν2(t) + αnνn(t);

3)определяется реакция системы на стандартные сигналы

νi (t), i =1,n ;

4) выходной сигнал y(t) определяется как суперпозиция выходных сигналов yi(t): y(t) = α1y1(t) + α2 y2 (t) +K+ αn yn (t) .

3 А Преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию x(s)

∞

другой переменной s при помощи оператора L[x(t)] = x(s) = ∫x(t)e−st dt . Основными свойствами преобразо-

0

С Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выходного сигнала y(s) к преобразованному по Лапласу входному сигналу x(s) при нулевых начальных условиях.

Раздел4

1 А Основными свойствами конформного отображения являются:

а) линия одной комплексной плоскости отображается в линию другой комплексной плоскости;

б) бесконечно малый угол отображается в такой же бесконечно малый угол, углы сохраняются; в) треугольник одной комплексной плоскости отображается в такой же или подобный треугольник

другой комплексной плоскости, направление обхода сохраняется; г) внутренняя область одного треугольника преобразуется во внутреннюю область другого тре-

угольника.

В Re(ω) = M(ω) cos ϕ(ω); Im(ω) = M(ω) sin ϕ(ω).

2 А Экспериментально получают АЧХ и ФЧХ. АЧХ представляет собой отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала. ФЧХ – разность фаз выходного и входного сигнала.

∞

3 А Весовая функция представляет собой обратное преобразование Фурье от АФХ w(t) = ∫W (iω) eiωt dω.

0

В Если h(t) – переходная функция, то W(iω) = (iω) h(iω).

Раздел5

1 А Обыкновенными дифференциальными уравнениями описываются апериодическое звено первого порядка, апериодическое звено второго порядка, колебательное звено.

ВУ реальных звеньев АЧХ M(ω) → 0 при ω → ∞. У идеально-дифференцирующего звена M(ω) →

∞при ω → ∞, его неосуществимость также видна из временных характеристик, так как h(t) = δ(t), а w(t) = δ′ (t).

С Типовые звенья подразделяются на:

а) статические, у которых статическая характеристика отлична

2 А Для одноконтурной системы автоматического регулирования можно записать передаточные функции по каналу регулирования, по каналу возмущения, по каналу ошибки.

В При последовательном соединении:

W (i ω) =W1(i ω) W2(i ω) ;

M (ω) = M1(ω) M 2 (ω) = Tkω ;

ϕ(ω) = ϕ1(ω) + ϕ2 (ω) = − π2 .

При параллельном соединении:

W (i ω) =W1(i ω) +W2 (i ω) ;

Re(ω) = Re1(ω)+ Re2 (ω) = k ;

Im(ω) = Im1(ω) + Im2 (ω) = − T1ω .

С Без дополнительных преобразований производится перенос узла через узел и перенос сумматора через сумматор.

3 А Физически не реализуем Д-закон регулирования.

В Введение в закон регулирования дифференциальной составляющей увеличивает быстродействие регулятора.

С Знак "–" у передаточных функций регулятора учитывает тот факт, что регулятор включается в систему по принципу отрицательной обратной связи.

Раздел6

1 А Система, которая после снятия возмущения принимает новое состояние равновесия, отличное от первоначального, называется нейтральной.

В Система автоматического управления не устойчива, так как один из корней S4 положительный.

С Система автоматического регулирования, у которой корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси, устойчива.

2 А Необходимое условие устойчивости является и достаточным для систем, описывающихся обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка.

В В соответствии с критерием Гурвица система устойчива: ∆1 = 4 > 0; ∆2 = 5 > 0; ∆3 = 5 > 0.

С Для исследования устойчивости с помощью критерия Рауса необходимо располагать уравнением, которое описывает систему автоматического управления.

3 А Если разомкнутая система не устойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы охватывало точку (–1, i0) m / 2 раз, где m – число правых корней харак-

В В соответствии с критерием Михайлова система автоматического управления не устойчива, так как корни не являются действительными чередующимися между собой.

С В соответствии с критерием Найквиста система устойчива, так как АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (–1, i0).

Раздел7

1А Синтез устойчивых систем базируется на критерии устойчивости Найквиста.

ВГраница устойчивости для систем автоматического регулирования, с регуляторами, имеющими два настроечных параметра, строится в плоскости параметров настройки s1 – s0 (ПИ-регулятор) или

s2 – s1 (ПД-регулятор) по уравнению Wоб(iωp )Wp (iωp , s0 , s1) = −1 или Wоб(iωp )Wp (iωp , s1, s2 ) = −1 соответственно.

С Задача синтеза систем регулирования с П- или И-регулятором решается однозначно, так как имеются два уравнения и два неизвеcтных ωp и s1 (или s0).

ладает заданным запасом устойчивости, если АФХ разомкнутой системы касается окружности радиуса r = M / (M 2 – 1) с центром в точке l = M 2/ (M 2 – 1).

В Задача определения настроек регуляторов ПИ и ПД на заданный запас устойчивости решается неоднозначно. Задача имеет бесконечное множество решений.

С Структурно-неустойчивыми называются системы, которые не могут стать устойчивыми ни при каких комбинациях значений их параметров.

Раздел8

1 А Прямыми показателями качества являются показатели, которые позволяют непосредственно по кривой переходного процесса оценивать качество регулирования. К ним относятся статическая ошибка регулирования, динамическая ошибка регулирования, время регулирования, перерегулирование, степень затухания.

В Для оценки качества регулирования колебательных переходных процессов используется степень колебательности.

С Положительным фактором использования интегральных критериев качества является получение общей оценки быстродействия и отклонения регулируемой величины от установившегося значения.

2 А Если ВЧХ представима суммой и каждой составляющей соответствует переходный процесс, то и переходный процесс представляется суммой составляющих.

В Если ВЧХ на оси ординат увеличивается в α раз, то и переходный процесс увеличивается в α раз.

С Конечное значение переходного процесса равно начальному значению ВЧХ; начальное значение переходного процесса равно конечному значению ВЧХ.

Раздел9

1 А Синтез функциональной структуры заключается в выборе конкретных элементов и согласовании их характеристик.

В К точным методам расчета параметров настроек регуляторов относятся метод РАФХ и графоаналитический метод.

С Расчет параметров настроек регуляторов называется параметрическим синтезом.

2 А Оптимальными параметрами настроек регуляторов согласно методу РАФХ являются настройки, обеспечивающие заданную степень колебательности и минимум квадратичного интегрального критерия.

В Качество регулирования в методе РАФХ оценивается квадратичным интегральным критерием.

С Для регуляторов с двумя настроечными параметрами оптимальным настройкам соответствует точка, лежащая на кривой заданной степени колебательности в плоскости настроечных параметров, в которой квадратичный интегральный критерий минимален.

3А В графоаналитическом методе запас устойчивости оценивается показателем колебательности.

ВКачество регулирования в графоаналитическом методе оценивается с помощью критерия оптимальной фильтрации, заключающегося в наилучшем приближении АЧХ реальной системы к АЧХ иде-

альной системы на низких частотах и, в частности, при ω = 0. Условия оптимальности записываются в виде:

– относительно возмущающего воздействия

M в(0) = 0 ; d Mв(0)dω = 0 ;

– относительно управляющего воздействия

M у(0) =1 ; d M у (0)dω = 0 .

С Точка, соответствующая оптимальным настройкам ПИ-регу-лятора, находится в точке касания касательной, проведенной из начала координат к кривой заданного запаса устойчивости в плоскости параметров настроек Ти – Kп (время изодрома – коэффициент передачи).