ЛЕКЦИЯ_1 / Основы теории автоматического управления - УП - Лазарева-Мартемьянов - 2004 - 352

линейная система находится на границе устойчивости и сказать что-либо конкретное относительно устойчивости исходной нелинейной системы нельзя, так как неизвестно как ведут себя отброшенные нелинейные члены. В этом случае необходимо рассматривать систему второго приближения. Если же исследование этой системы не даст конкретного ответа, то рассматривается система третьего приближения и т.д.

Первый метод Ляпунова можно использовать и для исследования устойчивости движения. Если последнее описывается дифференциальным уравнением (12.1), то для исследования устойчивости движения это уравнение необходимо линеаризовать путем разложения в ряд Тейлора в окрестности исследуемого движения y10 (t), y20 (t), …, yn0 (t), например, таким движением является гармонический сигнал –

синусоида. В результате линеаризации получают уравнение первого приближения, которое является линейным уравнением с коэффициентами, зависящими от времени:

An (t)yn (t)+ An−1(t)y(n−1)(t)+...+ A1(t)y′(t)+ A0 (t)y(t)= 0 .

Пример 12.1 Исследовать на устойчивость систему автоматического регулирования с помощью первого метода Ляпунова, если она описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

следуем на устойчивость первое состояние равновесия. Для этого линеаризуем исходную систему в окрестности точки y10 = 0 , y20 = 0 и получим линейную систему первого приближения

Характеристическое уравнение этой системы: (S +1)2 = 0 , его корни S1 = S2 = −1 – отрицательные дей-

ствительные, следовательно, система первого приближения устойчива. Состояние равновесия исходной нелинейной системы также устойчиво и представляет собой особую точку типа устойчивый узел.

12.3 Второй метод Ляпунова

А. М. Ляпунов предложил метод, позволяющий получить достаточные условия устойчивости нелинейных систем автоматического управления. Первоначально метод был разработан для исследования локальной устойчивости, т.е. устойчивости в достаточно малой окрестности особых точек, в дальнейшем он был расширен и для исследования устойчивости "в большом". Этот метод получил название второго метода Ляпунова. Для его изложения необходимы некоторые вспомогательные сведения, приведенные ниже.

12.3.1ПОНЯТИЕ О ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫХ, ЗНАКОПОСТОЯННЫХ

ИЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЯХ

Пусть имеется функция нескольких переменных V =V (y1, y2, ..., yn ), где y1, y2 , ..., yn являются прямо-

угольными координатами n-мерного фазового пространства. В каждой точке этого пространства функция V имеет некоторое определенное значение, в зависимости от того какие это будут значения вводятся названия этой функции.

Функция V называется знакоопределенной в данной области, если она во всех точках этой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде, кроме начала координат, не обращается в нуль.

Примером знакоопределенной функции является функция вида V = y12 + y22 +...+ yn2 , которая при всех вещественных значениях y1, y2 , ..., yn будет положительной (V > 0) и только, когда одновременно y1 = 0 , y2 = 0 , ..., yn = 0 она обращается в нуль (V = 0). Эта функция называется знакоопределенной положительной в отличие от функции V = −(y12 + y22 +...+ yn2 ), которая называется знакоопределенной отрицатель-

ной, так как для любых y1, y2 , ..., yn V < 0 и V = 0 при y1 = 0 , y2 = 0 , ..., yn = 0 .

Функция V называется знакопостоянной, если она в рассматриваемой области сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

Примером знакопостоянной функции при n = 3 является функция V = (y1 + y2 )2 + y32 , которая обращается в нуль, помимо начала координат, еще на прямой y2 = −y1 и y3 = 0 , во всех остальных точках она положительна. Функция V = sin y1 + cos y2 также является знакопостоянной, так как она при всех действительных y1 и y2 положительна или равна нулю.

Функция V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат меняет свой знак.

Примером знакопеременной функции является функция V = y1 + y2 . Эта функция положительна для всех точек справа от прямой y1 = −y2 и отрицательна слева от этой прямой.

12.3.2 ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА

Согласно второму методу Ляпунова в рассмотрение вводится специальная функция V (y1, y2 , ..., yn ),

заданная в фазовом пространстве, называемая функцией Ляпунова и обладающая следующими свойствами:

либо V < 0 .

Полная производная от функции Ляпунова по времени запишется в виде

Пусть рассматриваемая нелинейная система автоматического управления описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка в отклонениях всех переменных от их значений в установившемся процессе. Следовательно, для нелинейной системы n-го порядка эти уравнения будут:

клонения переменных и их производных равны нулю по самому определению понятия этих отклонений.

Если теперь в производную от функции Ляпунова (12.9) подставить значения dy1 / dt , dy2 / dt ,

... , dyn / dt из системы уравнений рассматриваемой системы управления (12.10), то получим производную от функции Ляпунова по времени в виде

Правые части уравнений (12.10) представляют собой заданные функции от отклонений y1, y2 , ..., yn .

Следовательно, производная от функции Ляпунова по времени, так же как и сама функция V , является некоторой функцией отклонений, т.е.

В связи с этим к функции W (12.12) можно применять понятия знакоопределенности, знакопостоянства и знакопеременности в некоторой области вокруг начала координат.

12.3.3ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА

Воснове второго метода Ляпунова лежит известная теорема Дирихле, согласно которой равновесие устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум. А.М. Ляпуновым были сформулированы три теоремы: об устойчивости, об асимптотической устойчивости и о неустойчивости.

Теорема 1 Если существует знакоопределенная функция

V (y1, y2, ..., yn ), производная которой по времени в силу дифференциальных уравнений, описывающих

нелинейную систему, или представляет собой знакопостоянную функцию противоположного с V знака, или тождественно равна нулю, то нелинейная система устойчива.

нелинейную систему, представляет собой знакоопределенную функцию противоположного с V знака, то нелинейная система асимптотически устойчива.

Теорема 3 Если существует какая-либо функция V (y1, y2 , ..., yn ), производная которой по времени в

силу дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, представляет собой знакоопределенную функцию, причем в любой сколь угодно малой окрестности начала координат имеется область, в которой знак функции V совпадает со знаком производной dV / dt , то состояние системы y1 = y2 = ... = yn = 0 неустойчиво.

Проиллюстрировать справедливость этих теорем можно на наглядных геометрических образах. Пусть имеется некоторая нелинейная система третьего порядка, которая описывается системой дифференциальных уравнений в отклонениях от значений переменных в стационарном состоянии вида

(12.10):

Координаты состояний равновесия определяются из системы алгебраических уравнений

Для определенности предполагается, что рассатриваемая система имеет только одно состояние равновесия, совпадающее с началом координат y1 = y2 = y3 = 0 .

В качестве функции Ляпунова рассматривается знакоопределенная положительная функция

где ai , i =1, 2, 3 – произвольно заданные вещественные числа. Если теперь этой функции придавать не-

эллипсоиды, причем каждый последующий эллипсоид содержит внутри себя целиком предыдущий (рис. 12.3), т.е. в силу однозначности функции V поверхности, соответствующие различным значениям Ci , не пересекаются между собой, а составляют семейство вложенных друг в друга поверхностей, при-

чем меньшим значениям Ci соответствуют внутренние поверхности, увеличение значений Ci обознача-

ет переход к внешним поверхностям.

Производная от функции Ляпунова (12.15) по времени в силу системы дифференциальных уравнений (12.13) согласно (12.11) запишется в виде

Пусть изображающая точка в начальный момент находится на поверхности V = C4 (рис. 12.3). Градиент функции V есть вектор, определяемый проекциями ∂V / ∂yi на оси координат, т.е.

где y = (y1, y2 , y3) – вектор координат состояния системы. Таким образом, производная функции Ля-

пунова по времени, составленная в силу уравнений системы (12.13), представляет собой скалярное произведение градиента этой функции на вектор фазовой скорости.

Вектор gradV (y) перпендикулярен к поверхности V = const (в частности, на рис. 12.3 к V = C4 ) и на-

правлен в сторону возрастания значения V . Если производная dV /dt > 0 , то, согласно (12.17), вектор фазовой скорости F(y) составляет с вектором gradV (y) острый угол, т.е. фазовая траектория пересекает по-

верхность V = const в сторону увеличения значений V (y) .

Если же dV /dt < 0 , угол между gradV (y) и F(y) тупой и фазовая траектория идет в сторону уменьшения значений V (y) . Таким образом, если dV / dt < 0 , то изображающая точка переместится на внутреннюю поверхность C3 и, двигаясь далее, будет неограниченно приближаться к состоянию равновесия – на-

чалу координат фазового пространства и уже никак не сможет выйти за пределы тех эллипсоидов, в которые она проникла. Это и означает затухание всех отклонений y1, y2, y3

в переходном процессе с течением времени. Если W (y1, y2 , y3 ) = 0 , то изображающая точка может остано-

виться на соответствующей поверхности. Такое перемещение является достаточным признаком устойчивости, т.е., если оно осуществляется, то устойчивость гарантируется.

В случае асимптотической устойчивости изображающая точка не может остаться на одной из поверхностей, а пойдет внутрь вплоть до начала координат, где y1 = y2 = y3 = 0 и V (y1, y2 , y3 )= 0 .

Геометрическую иллюстрацию теоремы Ляпунова о неустойчивости удобно привести для случая n = 2 на фазовой плоскости (рис. 12.4). Пусть функция V (y1, y2 ) знакопеременная с линиями V = const , а

ее производная dV / dt =W (y1, y2 ) положительно определенная. При произвольных начальных условиях

фазовая траектория, направляясь в соответствии со свойствами (12.17), попадает в область, где V (y1, y2 )> 0 и будет удаляться от начала координат.

Если же W (y1, y2 ) является отрицательно определенной функцией, то фазовая траектория удаляется от начала координат в область, где V (y1, y2 )< 0 .

В качестве примера проведем строгое доказательство теоремы I Ляпунова.

Зададим некоторое значение ε > 0 и область значений вектора y = (y1, y2 , ..., yn ), ограниченную величиной его нормы y = ε .

Пусть имеется положительно определенная функция V (y)> 0 , точная нижняя грань значений которой при y = ε есть α > 0 , т.е.

Поскольку V (0)= 0 , то из непрерывности определенно положительной функции V (y) следует, что можно взять такое значение δ > 0 , чтобы V (y)< α при y < δ .

Предположим, что начальные условия лежат внутри области δ (подобрать их таким образом можно всегда), т.е. y(t0 ) < δ и, следовательно, V (y(t0 ))< α . Тогда для решения y(t) при t > t0 функция V (y(t)) будет не возрастающей, так как по условию теоремы dV / dt =W (y)≤ 0 . Таким образом, получаем, что

V (y(t))≤V (y(t0 ))< α . При этом неизбежно y(t) < ε, так как, если бы было y(t) > ε , то получилось бы

V (y)≥ inf V (y)= α , что противоречит условию V (y(t))≤V (y(t0 ))< α . Теорема доказана.

y =ε

Если условия теоремы выполняются, то система устойчива. Но это не означает, что система не может быть устойчивой и за пределами этих условий, все зависит от выбора функции Ляпунова V .

12.3.4 МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМ ЛЯПУНОВА

При заданных уравнениях системы регулирования можно подобрать несколько различных вариантов функции V , поскольку требуется только знакоопределенность ее и ее производной. Различные варианты функции V , удовлетворяющие теореме, могут дать соответственно различные варианты условий устойчивости для одной и той же системы регулирования. При этом одни из них будут шире, другие уже, последние могут входить в первые как частный случай и т.д. От более или менее удачного подбора функции Ляпунова V будет зависеть большая или меньшая близость полученных достаточных условий устойчивости к необходимым и достаточным, т.е. более или менее полный охват всей области устойчивости данной системы. В большинстве технических задач вполне удовлетворяются только достаточными условиями.

Методику применения теорем Ляпунова удобно рассматривать на примере устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования с одной однозначной нелинейностью. Структурная схема такой системы изображена на рис. 12.5.

Пусть управляемый объект описывается в фазовом пространстве системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

где y1(t), y2(t) – фазовые координаты; x(t) – скалярная координата; a11, a12, a21, a22 – коэффициенты, из которых может быть образована невырожденная матрица; b1, b2 – коэффициенты.

Регулятор представляет собой нелинейное исполнительное устройство-привод, обратную связь привода и измерительно-усилительное устройство. Этот регулятор описывается следующими уравнениями

нительного устройства; C1 , C2 – коэффициенты, характеризующие измерительно-усилительное устройство, в соответствии с которым выходная координата объекта записывается в виде C1y1(t) +C2 y2 (t) .

Нелинейная функция может иметь произвольную нечетно-симметричную форму (12.6), удовлетворяющую условиям

Для исследования устойчивости вторым методом Ляпунова заданная система уравнений (12.19), (12.20) должна быть приведена к каноническому виду путем замены переменных:

Продифференцировав эти соотношения и произведя замену в соответствии с (12.22), получают систему уравнений вида

dz1(t) = a11z1(t) + b1F(σ); dt

в предположении, что матрица, составленная из коэффициентов a11 , a12 , a21 , a22 приведена к диагональной форме, т.е. коэффициенты a12 = a21 = 0 . Общая матрица системы (12.23) должна быть невырожденной, т.е.

Для решаемой задачи функцию Ляпунова рекомендуется брать в виде квадратичной формы плюс интеграл от нелинейности

где B1 , B2 – некоторые положительные квадратичные коэффициенты координат z1 и z2 . Интеграл в

этом выражении также является положительно определенной функцией координаты σ , что легко проверить по виду характеристики F(σ) . Таким образом, функция Ляпунова (12.24) является положительно

определенной.

Производная этой функции (12.24) в силу уравнений системы (12.23) запишется в виде

=2B1z1(a11z1 + b1F(σ)) + 2B2z2 (a22z2 + b2F(σ)) +

+F(σ)(C1z1 +C2 z2 − rF(σ)).

Произведя некоторые преобразования и замену переменных C1 = −2B1a11 , C2 = −2B2a22 , производная от функции Ляпунова примет следующий вид

+ 2F(σ)[(B1b1 +1 2C1)z1 + (B2b2 +12C2 )z2 ].

Полученное выражение (12.25) представляет собой квадратичную форму и согласно теоремам Ляпунова должна быть знакоопределенной или знакопостоянной отрицательной функцией. Установим обратное: при каких условиях эта производная будет положительной определенной функцией. Для этого необходимо воспользоваться критерием Сильвестра. Так как коэффициенты C1 и C2 являются коэффи-

циентами положительно-определенной квадратичной формы, то неравенства критерия Сильвестра выполняются. Остается потребовать, чтобы

отсюда −(B1b1 +12C1)2 C2 −(B2b2 +12C2 )2 C1 + rC1C 2> 0 .

ТАКИМ ОБРАЗОМ, ПОЛУЧАЕМ, ЧТО КОЭФФИЦИЕНТ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПРИВОДА ДОЛЖЕН ВЫБИРАТЬСЯ В СООТВЕТСТВИИ С НЕРАВЕНСТВОМ

ЭТО И ЯВЛЯЕТСЯ ДОСТАТОЧНЫМ УСЛОВИЕМ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ z1 = 0 , z2 = 0 , σ = 0 .

В УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕ ВОШЛИ НИКАКИЕ ПАРАМЕТРЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ F(σ) . СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ОНИ СПРАВЕДЛИВЫ ПРИ ЛЮБОЙ ФОРМЕ НЕ-

ЛИНЕЙНОСТИ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕЙ ОБЩИМ ТРЕБОВАНИЯМ (12.21). ТАКИЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ, КОТОРЫЕ НЕ ЗАВИСЯТ ОТ КОНКРЕТНОЙ ФОРМЫ НЕЛИНЕЙНОСТИ, НАЗЫВАЮТ УСЛОВИЯМИ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ.

12.3.5 Методы построения функции Ляпунова

ОДНОЙ ИЗ ОСНОВНЫХ ПРОБЛЕМ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ПРАКТИЧЕСКОМ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА, ЯВЛЯЕТСЯ ВЫБОР ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА. ОБЩЕГО МЕТОДА ВЫБОРА ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА НЕ СУЩЕСТВУЕТ, НО ВСЕ ЖЕ ИМЕЮТСЯ НЕКОТОРЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СОСТАВЛЕНИЮ ЭТОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА СИСТЕМ. ЧАЩЕ ВСЕГО ЭТУ ФУНКЦИЮ

ВЫБИРАЮТ В ВИДЕ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ.

ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ КООРДИНАТ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ НАХОДЯТСЯ СРАВНИТЕЛЬНО ЛЕГКО.

ПУСТЬ ДАНА СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

И ПУСТЬ КОРНИ ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕВЫЕ, Т.Е. ИМЕЮТ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧАСТИ.

БУДЕМ ИСКАТЬ КОЭФФИЦИЕНТЫ li, j КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

i=1 j=1

ТАК, ЧТОБЫ ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ЭТОЙ ФОРМЫ

БЫЛА ОПРЕДЕЛЕННО-ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ.

ДЛЯ ЭТОГО, СЛЕДУЯ ЛЯПУНОВУ, ЗАДАДИМСЯ ОПРЕДЕЛЕННО-ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ФОРМОЙ

С КОЭФФИЦИЕНТАМИ gij = g ji .

ТАКУЮ ФОРМУ МОЖНО ВЫБРАТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ: ЗАДАЮТСЯ n ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ g11, g22 , ..., gnn И ЗАТЕМ ОПРЕДЕ-

ЛЯЮТ g12 = g11g12 , ..., gij = gii g jj , ... . ТОГДА G(y) ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ПОЛНЫЙ КВАДРАТ

G(y) = (g11 y1 + g22 y2 +...+ gnn yn )2

И ЯВЛЯЕТСЯ ОПРЕДЕЛЕННО-ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ. ЛЯПУНОВЫМ БЫЛО ДОКАЗАНО, ЧТО ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ

ЧАСТЯХ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВСЕГДА МОЖНО ЕДИНСТВЕННЫМ ОБРАЗОМ ПОДОБРАТЬ КОЭФФИЦИЕНТЫ ФОРМЫ, КОТОРАЯ БУДЕТ ОПРЕ-

ДЕЛЕННО-ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ. ТАК КАК dLdt < 0 , ТО L ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ ЛЯПУНО-

ВА.

ЛЯПУНОВ УКАЗАЛ СЛЕДУЮЩИЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ФУНКЦИИ V ДЛЯ ЛИНЕЙ-

НЫХ СИСТЕМ. БУДЕМ ИСКАТЬ ЛИНЕЙНУЮ ФОРМУ ПЕРЕМЕННЫХ

тате получим

n

∑(a1i y1 + a2i y2 +K+ ani yn )Ai = χ(A1y1 +K+ An yn ) .

i=1

Так как y1, y2 , K, yn независимые переменные, то равенство может существовать лишь при условии, что все коэффициенты при y1, y2 , K, yn тождественно равны нулю. Находим

Условием совместности этих n уравнений является равенство нулю определителя системы (∆ = 0) , где χ является корнем характеристического уравнения. Так как в общем случае их n , то можно найти n

Таким образом, указан способ построения функции Ляпунова для линейной системы.

Метод Г. Сеге

Согласно этому методу функция Ляпунова записывается в виде

где коэффициенты aij являются функциями фазовых координат yi , т.е. aij (yi ) . Производная от функции Ляпунова по времени будет