ЛЕКЦИЯ_1 / Основы теории автоматического управления - УП - Лазарева-Мартемьянов - 2004 - 352

iV*

10Функция Попова, используемая в критерии абсолютной устойчивости, записывается в виде

АΠ(iω) =W (iω) +1/ k.

В Π(iω) = (1+ iαω)W (iω) +1/ k.

С Π(iω) = iαωW (iω) +1/ k.

13 АВТОКОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

13.1 Понятие об автоколебаниях

Одной из основных особенностей нелинейных систем, как уже отмечалось в разделе 10, является режим автоколебаний. Автоколебания – это устойчивые собственные колебания, возникающие за счет непериодического источника энергии и определяемые свойствами системы. Этот режим принципиально отличается от колебаний линейной системы на границе устойчивости. В линейной системе при малейшем уменьшении ее параметров колебательный процесс становится либо затухающим, либо расходящимся. Автоколебания же являются устойчивым режимом: малые изменения параметров системы не выводят ее из этого режима. Амплитуда автоколебаний не зависит от начальных условий и уровня внешних воздействий.

Автоколебания в нелинейных системах в общем случае нежелательны, а иногда и недопустимы. Однако, в некоторых нелинейных системах автоколебания являются основным рабочим режимом. Примерами автоколебательных систем являются часы, электрический звонок, всевозможные генераторы; при определенных условиях автоколебания возникают и в химических реакторах.

Для большинства реальных систем определение автоколебаний является сложной проблемой, являясь в то же время одной из задач исследования нелинейных систем.

При изучении режима автоколебаний необходимо ответить на вопросы, связанные с условиями их возникновения, числом, параметрами автоколебаний и их устойчивостью.

Как известно, на фазовой плоскости автоколебательному режиму соответствует изолированная замкнутая фазовая траектория – предельный цикл. В связи с этим проследить условия возникновения автоколебаний можно на примере возникновения предельного цикла. Существует два режима возникновения автоколебаний, которые называются режимами мягкого и жесткого возбуждения.

Характер возникновения автоколебаний и изменение фазового портрета удобно проследить на примере системы второго порядка.

Пусть при некотором значении какого-либо параметра а системы ее фазовый портрет имеет вид, представленный на рис. 13.1, а. Система устойчива, все фазовые траектории ведут к состоянию равновесия, которым в данном случае является начало координат.

Параметр a можно изменять. Изменяя непрерывно этот параметр систему можно сделать неустойчивой. Допустим, что при значении параметра a = a1 образуется устойчивый предельный цикл беско-

нечно малых размеров (рис. 13.1, б). При дальнейшем изменении этого

может оказаться опасным сколь угодно малый выход системы за пределы области устойчивости. Значения параметров a1 и a2 , при которых качественно изменяется картина фазового портрета называются

бифуркационными.

Для определения автоколебаний и их исследования разработаны специальные методы и критерии.

13.2Методы исследования автоколебаний

13.2.1КРИТЕРИЙ БЕНДИКСОНА

Вряде случаев можно воспользоваться критериями, с помощью которых удается показать, что в фазовом портрете рассматриваемой системы нет замкнутых фазовых траекторий, т.е. в рассматриваемой системе автоколебания отсутствуют. Одним из таких критериев отсутствия замкнутых фазовых траекторий, дающих достаточные условия отсутствия автоколебаний, является критерий Бендиксона, который наиболее прост для практического применения.

Пусть рассматриваемая система описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка

где F1(y1, y2 ) , F2 (y1, y2 ) – нелинейные функции аналитические на всей фазовой плоскости.

Критерий Бендиксона формулируется следующим образом: если в некоторой области на фазовой плоскости выражение ∂F1 / ∂y1 + ∂F2 / ∂y2 знакопостоянно, то в этой области не существует замкнутых фа-

зовых траекторий.

В тех случаях, когда критерий Бендиксона не выполняется или не может быть использован, например, функции F1(y1, y2 ) , F2 (y1, y2 ) не являются аналитическими, применяются другие методы для опре-

деления автоколебательных режимов.

Прежде чем рассмотреть другие методы нахождения автоколебаний, приведем следующий примерна использование критерия Бендиксона.

Пример 13.1 Пусть химический реактор идеального перемешивания, в котором протекает химическая реакция типа A → 2B , описывается следующими уравнениями

Требуется ответить на вопрос: будут или нет автоколебания в химическом реакторе, используя критерий Бендиксона. В соответствии с этим критерием находится выражение

∂F1 + ∂F2 = −2y1 − 2 −λ. ∂y1 ∂y2

Очевидно, что в соответствии с физическим смыслом y1 ≥ 0 , y2 ≥ 0 , т.е. концентрации не могут быть

отрицательными, а также λ > 0 , последнее выражение представляет собой знакопостоянную отрицательную функцию. Следовательно, согласно критерию Бендиксона в рассматриваемой системе – химическом реакторе автоколебания существовать не могут.

13.2.2 МЕТОД ТОЧЕЧНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Этот метод используется для качественного исследования хода фазовых траекторий, выявления автоколебаний в системе и изучения их устойчивости. Суть метода заключается в следующем.

Рассмотрим на фазовой плоскости отдельную фазовую траекторию и какую-либо полупрямую, например Oy1 (рис. 13.3).

В некоторый момент времени фазовая траектория пересечет положительную полуось в точке M1 с координатой y11 . При дальнейшем движении фазовая траектория вновь пересечет положительную полуось, но уже в точке M2 с координатой y12 .

Через каждую точку полуоси Oy1 проходит лишь одна фазовая траектория, поэтому обходу изображающей точки вокруг начала координат соответствует переход произвольной точки полупрямой Oy1 (точки M1 ) в другую точку этой же полупрямой (точку M2 ). Иначе говоря, обходу фазовой траектории вокруг начала координат соответствует точечное преобразование полупрямой Oy1 в саму себя. Очевидно, что положение точки M2 зависит от M1 , т.е.

где через y11 , y12 обозначены абсциссы точек M1 и M2 .

Функция y12 = f (y11) называется функцией последования.

В некоторых случаях эту функцию (13.1) удается получить аналитически из исходного дифференциального уравнения системы.

Если при любом y11 получается, что y12 < y11 , то в системе будет затухающий процесс, т.е. фазовая траектория – спираль, навивающаяся на начало координат; если y12 > y11 , то процесс в системе будет расходящимся.

При y12 = y11 на фазовой траектории будет предельный цикл, который соответствует колебательному режиму в системе. Представим функцию последования f (y11) графически (рис. 13.4).

Рассматривая взаиморасположение кривой f (y11) и прямой y12 = y11 можно также ответить на вопрос,

будут ли устойчивы периодические колебания, соответствующие этой замкнутой траектории.

Пусть в начальный момент времени изображающая точка находится в точке M на некоторой фазовой траектории. При движении по этой траектории переходим к точке с абсциссой y12 . Далее y12 преоб-

разуется в y13 , y13 – в y14 и т.д. (рис. 13.4.).

Для других начальных условий: абсцисса точки M 1 → y11 , также строится "лестница" движения от этой точки (рис. 13.4), таким образом получают, что изображающая точка с обеих сторон от "неподвижной" точки y1* приближается к ней. Следовательно, в данном случае на фазовой плоскости будет устойчивый предельный цикл, соответствующий устойчивым автоколебаниям в системе. Величина y1* определяет амплитуду автоколебаний.

Различные случаи точечного преобразования и соответствующие им фазовые портреты представлены на рис. 13.5. На рис. 13.5, а представлена функция последования для системы, имеющей два предельных цикла, из которых один устойчив, а другой неустойчив. Функция последования для системы с полуустойчивым предельным циклом изображена на рис. 13.5, б.

Рис. 13.5 Варианты точечного преобразования:

а– наличие устойчивого и неустойчивого предельных циклов;

б– наличие полуустойчивого предельного цикла

13.3 Метод гармонического баланса

Рассмотренные методы нахождения автоколебаний и исследования автоколебаний применимы только для систем второго порядка. Однако большинство реальных систем автоматического управления описывается уравнениями более высокого порядка. Наиболее распространенным методом исследования таких систем на практике является метод гармонического баланса.

Метод гармонического баланса был предложен для определения автоколебаний в нелинейной системе Л. С. Гольдфарбом. Этот метод основан на применении частотных характеристик нелинейной системы, получаемых в результате гармонической линеаризации, в связи с чем и применяется для приближенного исследования.

Исследуемая нелинейная система должна быть представима в виде замкнутой системы, состоящей из линейной части, характеризуемой амплитудно-фазовой характеристикой – Wл(iω) и объединяющей

все линейные элементы системы, и нелинейного звена с характеристикой yнэ = F(y) (рис. 13.6).

Рис. 13.6 Структурная схема нелинейной системы

К нелинейному элементу предъявляется единственное требование, что он не должен быть частотопреобразующим. Нелинейность может быть как статической, так и динамической.

Линейная часть должна быть фильтром высоких частот. Подобное упрощение для большинства промышленных систем регулирования не несет значительных ошибок.

Для применения метода гармонического баланса звено должно быть линеаризовано методом гармонической линеаризации, при котором не учитываются старшие гармонические составляющие на выходе

Рис. 13.8 Графический метод определения автоколебаний:

а – автоколебания существуют – точка M; б – автоколебания не существуют

колебания, следовательно, в исходной нелинейной системе возможны автоколебания, параметры кото-

системе автоколебания отсутствуют.

Графическое решение уравнения (13.2) позволило формально найти периодическое решение, так как физически возможны лишь устойчивые периодические колебания. В связи с этим возникает еще проблема исследования устойчивости найденных автоколебаний. Для исследования устойчивости автоколебаний метод гармонического баланса предполагает применение критерия, вытекающего из критерия Найквиста.

не охватывает точку с координатами (−1, i0)), то замкнутая система будет устойчивой.

Если АФХ линейной части охватывает инверсную АФХ нелинейного элемента, Wл(iω) > − Zнэ(iA) , Wрс(iω, A) >1 (АФХ разомкнутой системы охватывает точку с координатами (−1, i0)), то замкнутая сис-

тема будет неустойчивой.

Наличию автоколебаний в нелинейной системе соответствует факт нахождения линеаризованной системы на границе устойчивости, поэтому для исследования их устойчивости предполагается, что под действием возмущений линеаризованная система сдвигается с границы устойчивости. Последующее движение системы оценивается по приведенному выше аналогу критерия Найквиста.

Пусть автоколебаниям в системе соответствует точка M (рис. 13.9, а). В результате действия возмущений система сместилась в точку M1 , которой соответствует

новое состояние нелинейной системы, характеризующееся возрастанием амплитуды в случае движения по кривой −Zнэ(iA) вправо. Точка M1 находится вне АФХ линейной части, следовательно, согласно ана-

логу критерия Найквиста система в этом случае будет вести себя как устойчивая, тогда колебания в ней будут затухать, т.е. амплитуда колебаний будет уменьшаться. Последнее через некоторое время приведет к тому, что амплитуда колебаний станет равной исходной амплитуде автоколебаний Aa , т.е. система

вернется всостояние, характеризуемое точкой M .

Если по какой-либо причине амплитуда в системе уменьшится, новому состоянию системы будет соответствовать точка M2 , находящаяся внутри АФХ линейной части. В этом случае, применяя аналог

критерия Найквиста, видно, что здесь система ведет себя как неустойчивая система. Амплитуда колебаний, следовательно, будет возрастать, но не до бесконечности, а до амплитуды автоколебаний Aa . Та-

ким образом, система опять вернется в состояние, соответствующее режиму автоколебаний – точку M . Следовательно, во всех случаях происходит возврат системы в режим автоколебаний, что и говорит о том, что автоколебания будут устойчивыми.

С Какие автоколебания называются устойчивыми?

2 Для исследования режима автоколебаний применяют различные критерии и методы. Так критерий Бендиксона позволяет ответить на вопрос о существовании в системе замкнутых фазовых траекторий, т.е. автоколебаний.

Для качественного исследования хода фазовых траекторий, выявления автоколебаний в системе

иизучения их устойчивости используется метод точечного преобразования.

АВ соответствии с критерием Бендиксона в рассматриваемой области не существует фазовых тра-

екторий при выполнении определенных условий. Сформулируйте эти условия В Какая функция называется функцией последования?

СКаким образом в соответствии с методом преобразования можно определить в системе существующий режим?

3 Для исследования режима автоколебаний в системах высокого порядка используется метод гармонического баланса, являющийся приближенным методом. Исследуемая нелинейная система должна быть представлена в виде замкнутой системы, состоящей из нелинейной части с АФХ Wл(iω) и

нелинейного звена с характеристикой yнэ = f (y) , допускающего гармоническую линеаризацию. Для от-

вета на вопрос о существовании в системе автоколебаний графически решается уравнение

Wл(iω)Wнэ(iA) = −1. Если АФХ линейной части пересекается с инверсной АФХ нелинейной части

Zнэ(iA) =1/Wнэ(iA) , то в системе существуют автоколебания, в противном случае не существуют. При

существовании автоколебаний определяют их параметры – частоту и амплитуду и, используя аналог критерия Найквиста, отвечают на вопрос об устойчивости автоколебаний.

АКакими свойствами должна обладать линейная часть нелинейной системы, чтобы можно было применить к исследованию режима автоколебаний метод гармонического баланса?

В Какой факт лежит в основе доказательства существования в нелинейной системе автоколебаний?

ССформулируйте аналог критерия Найквиста для исследования устойчивости автоколебаний.

13.5Тест

2 При режиме жесткого возбуждения возникновения автоколебаний образуются

Адва слипшихся друг с другом предельных цикла конечных размеров;

В два предельных цикла, один из которых бесконечно мал, а второй имеет конечные размеры;

Сдва бесконечно малых предельных цикла.

3 В критерии Бендиксона исследуется выражение