Метод непосредственного интегрирования

Непосредственным интегрированием называется интегрирование, заключающиеся в непосредственном применении формул таблице основных интегралов.

Чтобы найти неопределенный интеграл от какой-нибудь функцииf (x) нужно прежде всего отыскать в таблице интегралов формулу в левой части которой стоит интеграл того же вида, как данный и записать ответ в соответствии с правой частью равенства.

Примеры

1. (формула 2)

2. (формула IV)

3. 

При вычислении неопределенных интегралов полезно помнить следующие правила:

1. Если

2. Если

3. Если

4. Если числитель подинтегральной функции является производной знаменателя, то интеграл равен логарифму знаменателя

Примеры

Метод замены переменной (способ подстановки)

Наиболее общим приемом интегрирования функций является способ подстановки, который применяется тогда. Когда искомый интеграл не является табличным, но путем преобразований может быть сведен к табличному.

Метод основан на применении следующей формулы:

где x = φ (t) – дифференцируемая функция от t; причем x = φ (t) - строго монотонна для рассматриваемых значений переменной.

В этом методе мы переменную х заменяем x = φ (t) dx = φ^| (t) dt

Примеры

1. 

2. 

3. 

4. 

Интегрирование по частям

Пусть u и v – две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал от произведения вычисляется по формуле .

Проинтегрируем обе части

или

- формула интегрирования по частям

Этой формулой пользуются, когда невозможно свести к табличному с помощью подстановки или труднее найти чес .

Здесь можно различным образом разбить данное подынтегральноe выражение на множители u и du.

Рассмотрим основные случаи, когда применяется метод интегрирования по частям.

2)

3)

4)

5)

Примеры

1)

2)

3)

4)

5)

Таким образом, двукратное применение формулы интегрирования по частям приводит к исходному интегралу, который мы вычисляли.

Раскроем скобки в правой части и получим:

Отсюда следует, что искомый интеграл равен

Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен

х – первое число, - второе число удвоенное произведение первого на второе; прибавим и отнимем квадрат второго числа

где

Если

Имеем

Примеры

1. 

2. 

Пример:

Выделим полный квадрат:

Интегрирования рациональных дробей

1. Корни знаменателя действительные и различные.

1. 

Итак

2. Корни знаменателя действительные, но среди них есть кратные.

Дробь неправильная. Выделяем, целую часть

Разложим знаменатель на множители

Разложим дробь на элементарные

имеем:

3. Знаменатель имеет кроме действительных корней комплексные или только комплексные.

Дробь неправильная. Выделим целую часть.

Разложим числитель и знаменатель на множители

Разложим дробь на элементарные

Итак

Разобьем дробь на элементарные

Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида m и n целые числа m ≠ n.

Интегралы такого типа часть встречаются в приложениях, в частности мы будем ими пользоваться в разделе «Ряды Фурье».

Для вычисления используем формулы

(а)

(б)

(в)

Пример

1. 

2. 

2. Интегралы типа, где m n – целые числа

1. m > 0; n > 0 причем одно из них нечетное , а другое произвольное.

Пусть m – нечетное, тогда m = 2k + 1

При решении используется формула:

Мы свели интеграл к интегралу от суммы степенных функций

3. 

Пусть n – нечетное; n = 2k + 1

Мы привели интеграл к интегралу от суммы степенных функций

4. 

2. m – нечетное

Подстановка

Примеры

3. 

4. 

5. m > 0, n > 0 оба четные. Берется путем понижения степени с использованием формул:

6. 

4 m и n оба четные; одно из них отрицательное

5 m и n – оба нечетные; одно из них отрицательное

6 m и n – отрицательные, а их сумма есть четное число

Подстановка

7. 

8. 

9. 

3. где R – рациональная функция х.

Если интеграл не сводится к I и II случаям, то применяют универсальную подстановку

10. 

4. Интегралы вида

Подстановка

11.