Вопросы для самоконтроля

1. Понятие комплексного числа.

2. Геометрическое изображение комплексного числа.

3. Сложение и вычитание комплексных чисел.

4. Умножение и деление комплексных чисел.

5. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.

6. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Тема 8 «Неопределённый интеграл» Первообразная функция. Основная теорема о первообразных

В предыдущем семестре мы рассматривали задачу: пусть дана функция F (x). Требуется найти ее производную f (x) = F^’ (x). (Это задача дифференциального исчисления).

Сейчас мы рассмотрим обратную задачу: дана производная f (x) = F^|(x). Требуется найти функцию F (x) (это задача интегрального исчисления).

Определение: Первообразной от функции f (x) называют функцию F (x), производная которой равна данной функции; т.е. F^|(x) = f (x).

Примеры: f (x) = cosx; F (x) = sinx; f (x) = х²; F (x) =

Легко видеть, что если для данной функции f (x) существует первообразная, то она не является единственной

или , где С = const

С другой стороны можно показать, что функции вида , исчерпывает все производные для функции f (x) = х². Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Если F₁ (x) = F₂ (x) две производные от функции f (x)? То разность между ними равна постоянному числу.

Из этой теоремы следует, что если для данной функции f (x) найдена какая-то производная F (x), то любая другая производная для f (x) имеет вид

F (x) + С где С = const

Понятие неопределенного интеграла

Определение. Если функция F (x) является первообразной для функции f (x). То выражение F (x) + с называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом

то есть

При этом функция f (x) называется подынтегральной функцией f (x)dx – подынтегральным выражением; - знак интеграла.

Вывод. Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций F (x) + С.

Определение. Нахождение первообразной для данной функции f (x) называется интегрированием этой функции.

Определение. С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет семейство кривых, зависящих от одного параметра, каждая из которых получается путем сдвига одной из них параллельно самой себе вдоль оси оу (рис 1). (Геометрический смысл неопределенного интеграла).

Пример f (x) = 2х

F (x) = х² + С

Давая С различные значения, получаем семейство кривых.

Основные свойства неопределенного интеграла

Свойство 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

(I)

Свойство 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

(II)

Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции F (x) равен самой функции с точностью до постоянной C.

(III)

Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

(IV)

Свойство 5. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых функций

(V)

Инвариантность формул интегрирования

Теорема. Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если , то , где u = φ (x) – любая дифференцируемая функция х.

Это правило очень важно. Основная таблица интегралов в силу этого правила оказывается справедливой независимо от того является переменная интегрирования независимо переменной или любой дифференцируемой функции ее.

Таблица основных формул интегрирования

Интегрирование есть действие обратное дифференцированию. Поэтому основные формулы интегрирования можно получить из соответствующих формул дифференциального исчисления.

1)	2)
2а)	2б)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)
11)	12)
13)	14)
15)	16)
17)	18)
19)	20)
21)	22)