Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид (78) (см. лекция 7).

Согласно теореме (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения) общее решение (обозначим его через у) линейного неоднородного уравнения (78) представляет собой сумму какого-нибудь его частного решения (обозначим через ) и общего решения (обозначим через) соответствующего исходному линейного однородного дифференциального уравнения (79), т.е.: (84)

Следовательно, для построения общего решения линейного неоднородного уравнения необходимо найти какое-нибудь одно его частное решение и общее решение соответствующего однородного уравнения (см. лекция 7). Частное решение неоднородного всегда может быть найдено методом вариации произвольной постоянной Лагранжа ( см. лекция 6), поэтому ограничимся рассмотрением случая, когда правая часть уравнения (78) – функция является так называемой специальной правой частью, т.е. имеет вид:

(85)

где α и β – константы P_n (x) и Q_m (x) – многочлены от х соответственно n – ой и m – ой степени (или является суммой функций такого вида).

На практике чаще всего имеют дело со следующими частными случаями специальной правой части уравнения (78):

7)

Структура частного решения у^* линейного неоднородного уравнения (78) в случае, когда его правая часть является специальной, заведомо известна, поэтому конкретное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.

Укажем частные решения , соответствующие различным простейшим случаям специальной правой части:

1. f(x) =ae^αx, тогда:

а) у^* = Ае^αx, если α не является корнем характеристического уравнения (80);

б) у^* = Ае^αx · х, если α является простым корнем характеристического уравнения (80);

в) у^* = Ае^αx · х², если α является двукратным корнем характеристического уравнения (80);

2. f(x) = P_n (x), тогда:

а) у^* = А₀ +А₁х + А₂х² + …А_nxⁿ, если ноль не является корнем характеристического уравнения (80);

б) у^* = (А₀ +А₁х + А₂х² + …А_nxⁿ) · х, если ноль является простым корнем уравнения (80);

3. f(x) = e^αx · P_n (x), тогда:

а) у^* = е^αх (А₀ +А₁х + А₂х² + …А_nxⁿ), если α не является корнем характеристического уравнения (80);

б) у^* = е^αх (А₀ +А₁х + А₂х² + …А_nxⁿ) · х, если α является простым корнем характеристического уравнения (80);

в) у^* = е^αх (А₀ +А₁х + А₂х² + …А_nxⁿ) · х², если α является простым корнем характеристического уравнения (80);

4. f(x) = M cosβx + N sinβx, тогда:

а) у^* = А cosβx + B sinβx, если = βi не является корнем характеристического уравнения (80);

б) у^* = (А cosβx + B sinβx) · х, если = βi является корнем характеристического уравнения (80);

5. f(x) = e^αx · (Mcosβx + Nsinβx), тогда:

а) у^* = е^αх (А cosβx + B sinβx), если = α + βi не является корнем характеристического уравнения (80);

б) у^* = е^αх (А cosβx + B sinβx) · х, если = α + βi является корнем характеристического уравнения (80);

В случае, когда правая часть f (x) уравнения (67) представляет собой сумму конечного числа специальных правых частей, т.е.:

f(x) = f₁(x) + f₂(x) + …+ f_n(x), где f_i(x) – функция вида (79); i = 1,2,..., n

тогда частное решение указанного уравнения имеет вид:

Здесь: – какое-нибудь частное решение уравнения i = 1,2,..., n.