Рациональные дроби. Краткие сведения из теории многочленов.

Определение. Сумма целых неотрицательных степеней неизвестного Х, взятых с некоторыми числовыми коэфйфициентами, называется многочленом.

Здесь: - действительные числа.

n- cтепень многочлена.

Операции над многочленами.

1). При сложении (вычитании) двух многочленов складываются (вычитаются) коэффициенты при одинаковых степенях неизвестнолго х.

2). Два многочлена равны, если они имеют одинаковую степень и равные коэффициенты при одинаковых степенях Х.

3). Степень многочлена, получаемого при перемножении двух многочленов, равна сумме степеней перемножаемых многочленов.

4). Линейные операции над многочленами обладают свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности.

5) Деление многочлена на многочлен можно осуществить по правилу «деление уголком».

Определение. Число х=а называется корнем многочлена, если подстановка его в многочлен обращает его в нуль, т. е.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на двучлен (х-а) равен значению многочлена при х=а, т. е.

Доказательство.

Пусть , где

Полагая в равенстве х=а, получим

Выводы.

1). При делении многочлена на двучлен (х-а) остатком всегда будет число.

2). Если а – корень многочлена, то многочлен делится на двучлен (х-а) без остатка.

3) При делении многочлена степени n на двучлен (х-а) в частном получаем многочлен степени (n-1).

Основная теорема алгебры. Любой многочлен смтепени n (n>1) имеет хотябы один корень (приводим без доказательства).

Следствие. Всякий многочлен степени n имеет ровно n корней и над полем комплексных чисел разлагается в произведение n линейных множителей, т. е. Среди корней многочлена могут быть повторяющиеся числа (кратные корни). У многочленов с действительными коэффициентами комплексные корни могут появляться только сопряжёнными парами. Докажем последнее утверждение.

Пусть - комплексный корень многочлена, тогда На основании общего свойства комплексных чисел можно утверждать следовательно - тоже корень.

Каждой паре комплексных сопряжённых корней многочлена соответствует квадратный трёхчлен с действительными коэфйфициентами.

здесь p, q- действительные числа (показать на примере).

Вывод. Всякий многочлен представим в виде произведения линейных множителей и квадратных трёхчленов с действительными коэффициентами.

Рациональные дроби.

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов.

Если , то рациональная дробь называается правильной. В противном случае дробь – неправильная. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (частного) и правильной рациональной дроби путём деления многочлена, стоящего в числителе, на многочлен, стоящий в знаменателе.

Пример.

- неправильная рациональная дробь.

Данную неправильную рациональную дробь теперь можно представить в следующем виде.

С учётом показанного, в дальнейшем будем рассматривать только правильные рациональные дроби.

Существуют так называемые простейшие рациональные дроби – это дроби, не поддающиеся никакому упрощению. Эти простейшие дроби имеют вид:

Правильную рациональную дробь более сложного вида всегда можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей. Набор дробей определяется набором корней многочлена, стоящего в знаменателе правильной несократимой рациональной дроби. Правило разложения дроби на простейшие следующее.

Пусть рациональная дробь представлена в следующем виде.

Здесь в числителе простейших дробей стоят неизвестные коэффициенты, которые всегда могут быть определены методом неопределённых коэффициентов. Суть метода состоит в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях Х у многочлена, стоящего в числителе исходной дроби и многочлена, стоящего в числителе дроби, полученной после приведения простейших дробей к общему знаменателю.

Пример.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях Х.

Решая систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов, получим.

Итак, данная дробь представима набором следующих простейших дробей.

Приведением к общему знаменателю убеждаемся в правильности решения задачи.