Решение линейных неоднородных уравнений

Рассмотрим ЛДУ второго порядка:

(75)

Легко показать подстановкой в (75), что решением ЛДУ будет сумма общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения данного ЛДУ:

(76)

Здесь: - частные решения ЛОДУ, составляющие его фундаментальную систему решений;

- частное решение ЛДУ (75).

Покажем теперь, что решение (76) есть общее решение ЛДУ (75), так как оно содержит в себе все частные его решения. Для этого зададимся произвольными начальными условиями: Покажем, что подбором постоянных можно удовлетворить любым начальным условиям. Для этого составим систему уравнений:

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных - определитель Вронского , следовательно, неизвестные константы для выбранных начальных условий определяются однозначно и решение (76) –общее.

Метод вариации Лагранжа нахождения частного решения ЛДУ.

Пусть дано уравнение (75) с известным общим решением соответствующего ему ЛОДУ: Полагаем, что - две новые неизвестные функции. Частное решение ЛДУ будем искать в виде: Для нахождения двух неизвестных функций необходимо сформулировать два условия, выражаемые дифференциальными уравнениями. Одно условие может быть произвольным, а вторым условием является требование, чтобы искомое решение удовлетворяло данному ЛДУ. Продифференцируем частное решение:

В качестве первого произвольного условия принимаем простейшее. Пусть

Тогда:

Подставляем выражения для в ЛДУ (75) и после некоторой перегруппировке его членов получим:

Первые две скобки равны нулю как результат подстановки решения в уравнение. Поэтому, для нахождения неизвестных функций получим систему уравнений:

(77)

Определитель из коэффициентов при неизвестных функций совпадает с определителем Вронского и отличен от нуля, поэтому решение системы (77) - единственное.

Пример.

Решить задачу Коши для ЛДУ, общее решение ЛОДУ которого известно:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Для нахождения частного решения неоднородного воспользуемся системой уравнений (77):

Определитель из коэффициентов при производных от неизвестных функций равен:

Применяя формулы Крамера, находим:

Общее решение исходного ЛДУ имеет вид:

Продифференцируем найденное общее решение:

Для нахождения частного решения, удовлетворяющего поставленным начальным условиям, решим систему уравнений:

Частное решение ЛДУ имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида: (78)

Здесь: – известная функция;

–действительные числа.

Если , то уравнение (78) принимает вид: . (79)

и называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Если , то уравнение (78) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.