Нетрудно заметить, что уравнение (21) представляет собой уравнение с разделяющимися переменными, метод решения которого изложен в лекции 1.
Существует несколько методов решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (20). Рассмотрим на конкретном примере метод вариации произвольной постоянной, предложенный Лагранжем (Лагранж Жозеф Луи (1736-1813) – французский математик и механик), и метод Бернулли (Бернулли – целая семья математиков и механиков).
Пример 5.
Найти общее решение дифференциального уравнения
ху/ +у = х + 1 (22)
Решение. Заданное уравнение (22) имеет вид (19), а значит является линейным неоднородным дифференциальным уравнением.
а) Метод вариации произвольной постоянной Лагранжа. Сначала найдем общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения т.е. уравнения: ху/ + у = 0 (23)
Уравнение (23) является уравнением с разделяющимися переменными (см. лекция 1). Отделяя в нем переменные и интегрируя, находим общее решение:
;
;
;
| ׃
(х
у) (предполагая, что х у ≠ 0)
;
;
;
;
;
.
Положив
С = ± С0
(
),
получаем общее решение линейного
однородного уравнения (2):
(24)
Самостоятельно
убедитесь, что формула (24) определяет
все решения уравнения (23), если допустить,
что постоянная С может принимать любое
действительное значение, в том числе и
0, т.е.
.
Согласно методу Лагранжа, решение неоднородного уравнения (22) будем искать в виде, подобном общему решению (24) соответствующего линейного однородного уравнения (23), полагая, что С – есть некоторая неизвестная и подлежащая определению дифференцируемая функция, зависящая от х, т.е. в виде:
(25)
Для нахождения С (х) подставим функцию (25) в уравнение (22):
;
;
;
;
;
Откуда:
;
;
.
(26)
Подставляя
(26) в (25), находим общее решение заданного
линейного неоднородного уравнения
(22):
.
Ответ:
.
б) Метод Бернулли.
Согласно методу Бернулли решение уравнения (22) ищется в виде
y = u (x) v (x) (27)
где u(x) и v(x) – новые неизвестные и подлежащие определению дифференцируемые функции.
Тогда:
.
Подставив (27) и полученное выше выражение для у/ в уравнение (22) имеем:
(28)
Для отыскания неизвестных функций u(x) и v(x) необходимо сформулировать два условия, каждое из которых выражается дифференциальным уравнением, причем одно из них можно установить совершенно произвольно. Вторым же условием является требование, чтобы найденное в результате произведение u(x) · v(x) – действительно являлось решением заданного уравнения (22). Выберем, например, функцию v (x) так, чтобы в левой части уравнения (28) получить вместо 3-ех слагаемых только одно. Для этого сначала в левой части уравнения (28) сгруппируем 2-ое и 3-е слагаемые и вынесем за скобку функцию u(x) :
(29)
затем
(в силу произвольности выбора функции
v(x)
) за v
(x)
примем одно из частных решений уравнения:
(30)
которое обращает в ноль множитель при u (x) уравнении (29).
Уравнение (30) представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, интегрируя которое, найдем функцию v (x):
;
;
;
.
Так как v(x) выбираем произвольно, то можно принять С = 0, тогда
;
В
силу произвольности выбора функции
v(x),
положим: v(x)
=
(31)
Для
нахождения функции u(x)
подставим (31) в уравнение (29). В результате,
сразу учтя соотношение (30), получаем:
;
;
;
;
,
(32)
Подставляя (31) и (32) в соотношение (27), найдем общее решение заданного линейного неоднородного дифференциального уравнения (22):
,
Ответ:
,
