Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Функция f (x, y) называется однородной функцией k –ой степени однородности (k –го измерения), если для любого λ > 0 имеет место равенство:

f (λx, λy) = λ^k f (x, y), где k = const, .

Например:

1. функция f (x, y) = х² + у² – 3ху есть однородная функция 2-ой степени однородности.

Действительно,

2) функция есть однородная функция нулевой степени однородности.

Действительно,

Дифференциальное уравнение называется однородным, если входящие в него функции М (х,у) и N (х,у) есть однородные функции одной и той же степени однородности.

Заметим, что однородное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду: (16)

С помощью подстановки (откуда у = х t), где t = t (х) – новая неизвестная функция от х, однородное дифференциальное уравнение всегда сводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к функции t.

Пример 4.

Найти общее решение дифференциального уравнения: хуу^/ = у² + 2х² (17)

Решение: разделив обе части дифференциального уравнения (17) на х у (предполагая, что ху ≠ 0), имеем:

или (18)

Последнее уравнение имеет вид (16), а значит заданное уравнение (17) есть однородное дифференциальное уравнение. Положим , откуда у =x t_(х) и у^/ = (х t_(х))^/ = х^/ t_(х) + х t^/_(х) = 1 t_(х) + х t^/_(х) = t + х t^/.

В результате, после указанной подстановки в уравнение (18), получаем уравнение с разделяющимися переменными:

;

;

;

;

;

;

;

.

Произведя обратную подстановку , находим общее решение заданного уравнения: ;

.

Самостоятельно убедитесь, что в процессе преобразований при делении на ху и не были потеряны никакие решения исходного уравнения.

Ответ: .

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида: А (х) у^/ + В (х) у = С (х), (19)

Где: А (х), В (х) и С(х) – заданные функции.

Если А (х) ≠ 0, то разделив обе части уравнения (19) на А(х), получаем каноническую форму линейного дифференциального уравнения:

, (20)

где:

Если в уравнении (20) Q (x) 0, то оно принимает вид:

у^/ + Р(х) у = 0 (21)

и называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если же Q0, то уравнение (20) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением