6.2 Імітація на основі теоретичних законів розподілу

Дискретні випадкові величини найчастіше описуються такими теоретичними законами розподілу: біномним,Пуассона,геометричним.

Біномний розподіл.Для біноміального розподілу (розподілу Бернуллі) з параметрамиріnімовірність появи події Х вnвипробуваннях дорівнює

, (6.4)

де р– ймовірність появи події в кожному незалежному випробуванні.

Процедуру імітації покажемо на конкретному прикладі.

Приклад 1.На складі щоденно завантажують чотири (n = 4 ) вагони. Ймовірність повного використання вантажопідйомності кожного із нихр = 0.5. Повністю використана вантажопідйомність може бути або у одного, двох, трьох, чотирьох вагонів, або всі вагони відправляються недовантаженими.

На основі імітації провести аналіз використання вантажопідйомності вагонів.

Порядок імітації.

За формулою (6.4) імовірність появи подій:

і	1	2	3	4	5
хі	0	1	2	3	4
рі	0.0625	0.250	0.375	0.250	0.0625
	0.0625	0.3125	0.6875	0.9375	1.0000

Змоделюємо завантаження вагонів протягом п’яти днів. Із таблиці випадкових чисел вибираємо п’ять чисел ξ₁ = 0.5489,ξ₂ = 0.3522,ξ₃ = 0.7555,ξ₄ = 0.5759,ξ₅ = 0.6303.

Провівши порівняння згідно з алгоритмом (6.3) знайдемо такі результати завантаження вагонів:

День	1	2	3	4	5
Кількість повністю завантажених вагонів	2	2	3	2	2

Розподіл Пуассона.

Якщо випадкова величина Хрозподіляється за законом Пуассона, то ряд розподілу задається виразом

, m = 0, 1, 2, …, (6.5)

де р (х  =m) – імовірність того, що випадкова величинахприйме значенняm ;

а– математичне очікування випадкової величини.

Для моделювання випадкової величини  х визначають випадкове числоξ _ірівномірно розподілене в діапазоні [0, 1], і фіксують такі значеннях_і,  для якого виконується нерівність

. (6.6)

Геометричний розподіл.Ймовірність появи випадкової величини визначається залежністю

. (6.7)

Імітація виконується згідно з алгоритмом (6.3) аналогічно вище викладеному.

Геометричний розподіл можна імітувати з допомогою перетворення.

, (6.8)

де […] – ціла частина числа.

Практичне заняття № 7 статистичне моделювання неперервних випадкових величин.

Мета занять: вивчення основних методів моделювання, придбання навичок в побудові моделей для машинної імітації розподілу випадкових величин.

7.1 Загальні принципи моделювання

Неперервна випадкова величина Xмає розподіл

, (7.1)

де (х) – щільність ймовірностей.

Для отримання неперервних випадкових величин з заданим законом розподілу можна скористуватись методом оберненої функції. Взаємно одиночна монотонна функція (рисунок 7.1), отримана розв’язком відносноХрівнянняF_x(x)=ξ, перетворює рівномірно розподілену на інтервалі [0,1] величинуξ вХ з потрібною щільністю_х(х).

ξ1 ξ2 ξ

Рисунок 7.1 – Графік інтегральної функції розподілу F(x)

Дійсно, якщо випадкова величина Хмає щільність розподілу_х(х), то розподіл випадкової величини

(7.2)

є рівномірним в інтервалі [0,1].

Це ствердження дає смогу сформувати правило імітації випадкових чисел {х_і}, котрі мають функцію щільностіf (x):

1) генерується випадкове число ξ_іРВП[0,1];

2) випадкове число х_із розподіломf (x) є розв’язком рівняння

(7.3)

Таким чином, послідовність ξ₁,ξ₂,ξ₃, … , що належить до РВП [0,1], перетворюється на послідовністьх₁,х₂,х₃, … , яка має щільність розподілуf (x).

Розглянемо основні способи імітації методом оберненої функції випадкових величин за загальним законом розподілу на основі випадкових чисел, рівномірно розподілених на інтервалі [0, 1].