- •Міністерство освіти і науки україни
- •Практичне заняття № 1 статистичні дослідження вхідних випадкових параметрів системи
- •1.1 Методика попередньої обробки статичної інформації
- •1.1.1 Визначення основних статистичних характеристик
- •1.1.2 Виключення грубих аномальних спостережень
- •1.1.3 Перевірка статистичної однорідності сукупності
- •1.1.4 Визначення мінімальної кількості спостережень
- •1.2 Встановлення емпіричного закону розподілу досліджуваних параметрів
- •1.3 Приклад статистичного аналізу випадкової величини
- •Література
- •Практичне заняття №2 систематизація статистичної інформації для кореляційно–регресійного аналізу процесів функціонування системи
- •2.1 Загальні положення
- •2.2 Рекомендації щодо відбору факторів
- •2.3 Методика комплексної систематизації статистичної інформації
- •2.4 Приклад повного статистичного аналізу вихідної інформації
- •Розрахунковий аналіз
- •Література
- •Практичне заняття № 3 аналіз процесу функціонування систем
- •3.1 Основні теоретичні положення
- •3.1.1 Основні поняття
- •3.1.2 Формалізація марківського випадкового процесу з дискретним часом
- •3.1.3 Формалізація марківського процесу з неперервним часом
- •3.2 Приклади побудови формалізованих моделей функціонування системи
- •3.2.1 Система з дискретним станом і дискретним часом
- •3.2.2 Системи з дискретним станом і неперервним часом
- •Література
- •Практичне заняття № 4 статистичні моделі процесів функціонування систем
- •4.1 Основні принципи і поняття імітаційного моделювання
- •4.2 Основи моделювання методом статистичних випробувань
- •4.3 Приклад побудови статистичної моделі
- •Практичне заняття № 5 статистичне моделювання випадкових подій
- •5.1 Основні процедури моделювання подій.
- •Використовуючи таблицю або генератор випадкових чисел рвп [0, 1] процедуру моделювання випробувань за “жеребкуванням” виконують в такій послідовності:
- •5.2 Моделювання незалежних подій
- •5.3 Моделювання залежних подій.
- •Практичне заняття № 6 статистичне моделювання дискретних випадкових величин
- •6.1 Імітація на основі емпіричного розподілу дискретної величини
- •6.2 Імітація на основі теоретичних законів розподілу
- •Практичне заняття № 7 статистичне моделювання неперервних випадкових величин.
- •7.1 Загальні принципи моделювання
- •7.2 Імітація за відомим теоретичним законом розподілу
- •7.3 Наближені способи імітації
- •7.3.1 Імітація методом кускової апроксимації
- •7.3.2 Імітація на основі несистематизованої статистичної таблиці
- •7.3.3 Графоаналітичний спосіб імітації
- •Література.
Практичне заняття № 5 статистичне моделювання випадкових подій
Мета занять: ознайомлення з основними методами імітації випадкових подій, здобуття практичних навичок у побудові моделюючих алгоритмів.
5.1 Основні процедури моделювання подій.
Формування випадкових дій при імітації процесів функціонування системи зводиться до генерації випадкових чисел ξ і. Найбільш поширеною є рівномірна випадкова послідовність з межами 0 і 1. У подальшому цю послідовність будемо називати РВП [0, 1]. Належність числа до РВП [0, 1] означає, що це число ξ і більше або дорівнює нулю і менше або дорівнює одиниці і поява кожного такого числа рівноімовірна.
Для імітації випадкових подій використовується процедура визначення результату випробування за “жеребкуванням” згідно з ймовірностями р1, р2, …, р s .
Сутність процедури полягає у наступному .
Нехай маємо випадкові числа ξ і, тобто можливі значення випадковості величини хі рівномірно розподіленою на інтервалі [0, 1]. Необхідно реалізувати випадкову подію А, яка настає з заданою ймовірністю р. Визначимо А як подію, котра полягає у тому, що вибране значення РВП ξ і випадкової величини x задовольняє нерівності
(5.1)
Тоді імовірність події А буде . Протилежна подіяполягає у тому, щоξ і > р. Тоді
Процедура моделювання у цьому випадку полягає у виборі значень і і порівнянням їх з р. При цьому, якщо умова (5.1) виконуються, то результатом випробування є подія А.
Розглянемо групу подій А1, А2,…, Аs котрі настають з імовірностями р1, р2,… рs і утворюють повну групу , дері – ймовірність події Аі.
Використовуючи таблицю або генератор випадкових чисел рвп [0, 1] процедуру моделювання випробувань за “жеребкуванням” виконують в такій послідовності:
1. Розбивають відрізок [0, 1] на n частин завдовжки р1, р2,… рs з координатами точок поділу відрізка
l0 = 0, l1 = p1, l2 = p1 + p2 ,…, ln =.
2. Вибирають із РВП[0,1] число ξ і. Якщо вибране значення ξ і задовольняє нерівності
, (5.2)
то вважають, що відбулася подія АК.
5.2 Моделювання незалежних подій
При моделюванні систем часто необхідно виконати такі випробування, шуканий результат котрих є складною подією, яка залежить від двох і більше простих подій.
Нехай, наприклад, незалежні події АіВмають ймовірності настаннярАтарВ. Можливими результатами будуть:
–настання події АіВз ймовірністюрАрВ.;
–настання події А іВз ймовірністю (1 – рА ) рВ.;
–настання події АіВз ймовірністюрА(1 – рВ);
–настання події АіВз ймовірністю (1 – рА)(1 – рВ);
Для моделювання сумісних випробовувань можна використати два способи:
1) послідовну перевірку умови за формулою (5.1);
2) визначення за формулою (5.2) настання однієї із подій, котра входить в повну групу подій.
Процедуру моделювання незалежних подій зазначеними способами розглянемо на прикладі.
Приклад 1.Проаналізувати роботу навантажувально-розвантажувального пункту, оснащеного трьома козловими кранами К1, К2, і К3. Імовірність зайнятості кранів вантажними операціями в довільний момент часу становить К1 = 0.65, К2 = 0.80, і К3 = 0.85.
Змоделювати процес функціонування системи.
Розв’язок.Введемо позначення для випадкових подій, що в довільний момент часуtхарактеризують роботу навантажувально-розвантажувального пункту:
А –працює перший кран К1;
В –працює другий кран К2;
С –працює третій кран К3;
Перший спосіб моделювання випробування за “жеребкуванням”
Поточний стан навантажувально-розвантажувального пункту імітується початковими умовами:
ξ– перший кран працює;ξ 1 > 0.65 – не працює;
ξ– другий кран працює;ξ 2 > 0.80 – не працює;
ξ– третій кран працює;ξ 3 > 0.75 – не працює.
Для визначення станів системи в наступний момент часу виберемо із таблиці Д.5три випадкових числа:ξ1 = 0.5489,ξ2 = 0.3522,ξ3 = 0.7555.
Згідно з обраною процедурою імітації в даний момент часу маємо:
- перший кран працює, настала подія А;
- другий кран працює, настала подія В;
- третій кран працює, настала протилежна подія.
Другий спосіб моделювання випробування за “жеребкуванням”
Формуємо повну групу подій.
; ;;;
; ;;.
Обчислюємо ймовірності цих подій за правилом: імовірність добутку подій дорівнює добутку їх ймовірностей.
Маємо:
P(D1) = 0.65 0.80 0.75 = 0.39;
P(D2) = 0.65 (1 – 0.80) 0.75 = 0.1;
P(D3) = 0.65 0.80 (1 – 0.75) = 0.13;
P(D4) = 0.65 (1 – 0.80) (1 – 0.75) = 0.033;
P(D5) = (1 – 0.65) 0.80 0.75 = 0.21;
P(D6) = (1 – 0.65) (1 – 0.80) 0.75 = 0.053;
P(D7) = (1 – 0.65) 0.80 (1 – 0.75) = 0.07;
P(D8) = (1 – 0.65) (1 – 0.80) (1 – 0.75) = 0.018.
Поділяємо відрізок [0, 1] на вісім частин з координатами точок поділу: l0=0; l1 = 0.39;l2 = 0.49;l3 = 0.62;l4 = 0.653;l5 = 0.883; l6 = 0.916;l7 = 0.988;l8 = 1.
Вибираємо наступне випадкове число, наприклад ξ1 = 0.5479. Оскількиl2 < 1 < l3, то імітується подія, тобто в досліджуваний момент часу працюють крани К1і К2, а третій кран К3не працює.
В наступний момент вибрали випадкове число ξ2=0.3522, маємоl0 < 2 < l1–імітується подія, тобто в даний момент часу працюють всі крани і т.д.