3.2 Приклади побудови формалізованих моделей функціонування системи

3.2.1 Система з дискретним станом і дискретним часом

Розглянемо процес функціонування організаційної системи управління перевізним процесом на автотранспортному підприємстві (АТП). При плануванні і організації роботи транспортних засобів необхідно врахувати їх можливі стани.

Кожний автомобіль в заданий момент часу може бути в одному із наступних станів:

– робота на лінії (Л);

– технічне обслуговування ТО-1 (1);

– технічний ремонт ТР (Р);

– технічне обслуговування ТО-2 (2);

– перебування у парку (резерві) (П).

Для заданих станів складемо матрицю перехідних ймовірностей Р за дискретними періодами часу =1 день. Зафіксовані за часом  стани 10 автомобілів КАМАЗ–5320 протягом періоду часу Т=1місяць (31 день) наведені у таблиці (3.2) [2].

Наприклад, протягом місяця перший автомобіль (перший рядок таблиці 3.2) 3 дні (з 1-го по 3-й день місяця) працював на лінії (Л), потім один день (4-й) знаходився на технічному ремонті (Р), з 5-го по 13-й день місяця працював на лінії, в 14-й проходив технічне обслуговування ТО-1 (1), з 15-го по 19-й день на лінії, 20-й день на ТО-1, 21-й - 23-й – на лінії, 24-й – на ТО-1, з 25-го по 31-й – на лінії і т.д. Аналогічно восьмий автомобіль 1-й та 2-й дні поточного місяця перебував на лінії, на 3-й день знаходився у парку (резерві), з 4-го по 9-й — на лінії і т.д.

Таблиця 3.2 – Статистичні дані про роботу автомобілів КАМАЗ-5320 протягом місяця

Номер автомобіля

Дні місяця

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

1

Л

Л

Л

Р

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

1

Л

Л

Л

Л

Л

1

Л

Л

Л

1

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

2

Л

Л

Л

1

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

1

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

1

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

3

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Р

Л

Л

Л

Л

Л

1

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Р

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

4

Л

Л

1

Л

Л

Л

Р

Л

Р

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Р

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

5

Л

Л

Р

1

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

1

Л

Л

Л

Л

Л

Л

2

2

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

6

Л

Л

Л

Л

1

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Р

Р

Р

Л

1

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

1

Л

Л

Л

Л

Л

7

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

1

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

1

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

8

Л

Л

П.

Л

Л

Л

Л

Л

Л

1

Л

Л

Л

Л

Р

Л

Л

Л

Л

1

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

2

1

Л

9

Л

Л

1

Л

Л

П.

Л

Л

П.

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

2

Л

Л

Л

Л

Л

Л

2

2

Л

10

Л

Р

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

1

Р

П.

Л

Л

П.

Л

Л

Л

Л

1

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Матриця імовірностей має вигляд:

Р= .

Використовуючи інформацію таблиці 3.2 як вихідні дані, визначимо загальну кількість переходів цих автомобілів із п’яти станів (Л); (1); (Р); (2); (П) в ті самі стани. Для цього підготуємо таблицю 3.3, в котрій по горизонталі і вертикалі вказано стани (Л); (1); (Р); (2); (П).

Таблиця 3.3 – Підсумкові дані про кількість переходів в різні технологічні стани

Стани	Стани
	Л (лінія)	1 (ТО-1)	Р (ТР)	2 (ТО-2)	П (парк)
Л (лінія)	2+8+4+2+9+8+8+15+4+5+9+4+8+13+8+7+2+5+3+3+7+2+2+11+8+11+2+2+3	1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1	1+1+1+1+1+1+1+1+1	1+1+1+1	1+1+1+1+1
1 (ТО-1)	21	–	–	–	1
Р (ТР)	8	1	2	–	–
2 (ТО-2)	2	1	–	2	1
П (парк)	7	–	–	–	1

Послідовно проглядаємо рядки таблиці 3.2, підраховуємо кількість відповідних переходів і проставляємо їх на перехрещені відповідних станів. Кількість переходів слід підраховувати так:

1) кількість переходів одних і тих же станів в самих себе (наприклад “лінія – лінія”) на одиницю менше того числа днів, протягом яких автомобіль знаходився в цих станах. Наприклад, перший автомобіль (рядок 1 табл. 3.2) три дні (1-3-й дні місяця) працював на лінії, тобто 3–1=2 рази виконував перехід “лінія – лінія”, потім один раз (4-й день) перейшов із стану “лінія” в стан ”технічний ремонт” (Р); далі (5-й день) перейшов в стан “лінія – лінія” і т.д.

2) при переході із одного рядка в другий, тобто до показників наступного автомобіля, останні дані попереднього рядка і наступного рядка необхідно розглядати як неперервну інформацію. Наприклад, при аналізі закінчення рядка 5 і початку рядка 6 два дні (30-й і 31-й) перебування п’ятого автомобіля на лінії і 5 днів (з 1-го по 5-й) шостого автомобіля слід об’єднати. При цьому кількість днів, проведених на лінії, складатимуть 7, а переходів “лінія – лінія” 7–1=6. Результати підрахунків для станів Л–Л; Л–1; Л–Р; Л–2; Л–Л наведені в п’яти стовпчиках таблиці 3.3. Останні значення таблиці 3.3 наведені лише підсумковими даними.

Визначивши для першого рядка таблиці 3.3 сумарне значення відповідних переходів отримаємо матрицю п’ятого порядку

А =.

Сумарні значення переходів за всіма рядкам матриці відповідно дорівнює: 262; 22; 11; 6; 8. Поділивши кожний елемент рядка на відповідну суму, одержимо основну матрицю перехідних імовірностей:

P = .

Згідно з матрицею перехідних ймовірностей на рисунку 3.4 зображено розмічений граф станів технологічного процесу роботи автомобілів.

Рисунок 3.4 – Розмічений граф станів технологічного процесу роботи автомобілів

Розрахуємо компоненти вектора Р_к для декількох періодів n. Спочатку визначимо початковий розподіл Р_о автомобілів для п’яти станів, використовуючи звітні дані АТП за розглядуваний період часу (1 місяць). Для цього загальне число днів роботи усіх автомобілів на лінії, а також їх перебування відповідно на ТО-1, ТР, ТО-2 і в резерві розділимо на їх сумарну кількість. Нехай в розглядуваний момент вектор початкових розподілів складає

Р_о = (0.81; 0.08; 0.06; 0.03; 0.02).

Це означає, що 81% усіх автомобілів знаходилося на лінії, 8% на ТО–1, 6% на ТР, 3 % на ТО-2 і 2% в резерві.

Після одного періоду (n₀=1) розподіл імовірностей станів парка автомобілів складає:

Р₁=P₀Р=[0.81,0.08,0.06,0.03,0.02]=

=[0.810.83 + 0.080.95 + 0.06 0.73 + 0.030.33 + 0.020.88; 0.080.08 + 0.060.05 + 0.030.17; 0.810.03 + 0.060.18; 0.810.02 + 0.030.33; 0.820.02 + 0.080.05 + 0.030.17 + 0.020.12] = [0.82; 0.074; 0.035; 0.026; 0.027].

для періоду n₂=2 маємо:

Р₂= Р₁Р=P₀P²=[0.82; 0.074; 0.035; 0.026; 0.027]P=[0.84; 0.085; 0.032; 0.025; 0.027].

Аналіз розподілу Р₀ і Р_к показує, що в перспективі слід очікувати: приблизно однакову кількість автомобілів на лінії; збільшення числа автомобілів, які проходять ТО-1 і знаходяться в резерві; зменшення автомобілів, які проходять ТО-2 і ТР.