Приклади розв’язування задач

Задача 8. Електрон, початковою швидкістю якого можна знехту­вати, пройшов прискорюючу різницю потенціалів U. Знайти довжину хвилі де Бройля  для двох випадків: 1) U = 51 В; 2) U = 510 кВ.

Розв'язання

Довжина хвилі де Бройля частинки залежить від імпульсурі визначається формулою:

.

Імпульс частинки можна визначити, якщо відома її кінетична енергія Т. Зв'язок імпульсу з кінетичною енергією для нерелятивістського (коли Т << Е ) і для релятивістського (коли Т  Е ) випадків виражається відповідно формулами:

(2) і (3)

Формула (1) з урахуванням співвідношень (2) і (3) запишеть­ся відповідно в нерелятивістському і релятивістському випадках:

; (4) . (5)

Порівняємо кінетичні енергії електрона, що пройшов задані в умові задачі різниці потенціалів U₁ = 51 В і U₂ = 510 кВ, з енер­гією спокою електрона і вирішимо, якою з формул (4) чи (5) слід скористатися для обчислення довжини хвилі де Бройля.

Як відомо, кінетична енергія електрона, що пройшов прискорю­ючу різницю потенціалів U, дорівнює:

T = |e| U.

В першому випадку Т₁ = |e| U₁ = 0,5110^–4 МеВ, що значно менше від енергії спокою електрона Е₀ = m₀c² = 0,51 MeB. Отже, можна застосовувати формулу (4).

Для спрощення розрахунків зауважимо, що Т₁ = 10^–4 m₀c². Підставивши цей вираз в формулу (4), перепишемо її у вигляді

.

Врахувавши, що – комптонівська довжина хвилі_С , одержимо:

Оскільки  = 2,4310^–12 м, то = 172 пм.

У другому випадку кінетична енергія Т = |e|U = 510 кеВ = 0,51МеВ, тобто дорівнює енергії спокою електрона. Отже необхід­но застосовувати релятивістську формулу (5). Врахувавши, що Т = 0,51 МеВ = m₀c², за формулою (2) знайдемо:

,

або

= 1,4 пм.

Задача 9. Обчислити довжину хвилі де Бройля електрона, що рухається зі швидкістю v = 0,75 c (c – швидкість світла у ваку­умі).

Розв'язання

Довжина хвилі де Бройля для частинки визначається формулою:

, (1)

де h – постійна Планка, р – імпульс частинки. При русі частинок зі швидкостями, близькими до швидкості світла у вакуумі, маса ча­стинки залежить від швидкості. Тому у виразі для імпульсу

р = mv , (2)

де m – маса рухомої частинки. Залежність маси від швидкості подаєть­ся співвідношенням:

, (3)

де m₀ – маса спокою частинки, v – швидкість руху електрона, що за умовою задачі рівна 0,75 с. Підставивши в (1) значення р і m з (2) і (3), одержимо:

(4)

За умовою задачі швидкість руху електрона рівна 0,75 с. Підставивши це значення в формулу (4), одержимо:

де – комптонівська довжина хвилі_С, рівна 2,43 нм. Виконавши обчислення, одержимо:  = 2,24 нм.

Задача 10. На вузьку щілину шириною a = 1 мкм спрямовано па­ралельний пучок електронів, які мають швидкість мv = 3,65 Мм/с. Враховуючи хвильові властивості електронів, визначити відстань x між двома максимумами інтенсивності першого порядку в дифракцій­ній картині, одержаній на екрані, що знаходиться на відстані L = 10 см від щілини.