Vі. Фізика атома.

ОСНОВИ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ.

ЯДЕРНА ФІЗИКА

§1. Атом водню за теорією Бора

Основні формули

Момент імпульсу електрона на стаціонарних орбітах:

L = m v_n r_n = nħ ( n = 1,2,3,...), (6.1)

де m – маса електрона, r_n – радіус орбіти, v_n – швидкість електрона на орбіті, n – головне квантове число, ħ – постійна Дірака: ħ= h/2, де h – постійна Планка.

Енергія фотона, що випромінюється атомом водню при переході з одного стаціонарного стану в інший:

 = ħ = h = , (6.2)

де – кругова частота випромінювання,– частота випроміню­вання,і– енергії атома в стаціонарних станах з головними квантовими числамиn₁іn₂, причому атом переходить зі стануn₂в станn₁. Ця ж енергія може бути визначена за формулою:

(6.3)

де E_i – енергія іонізації атома водню.

Енергія електрона, що знаходиться на n-й орбіті:

(6.4)

Серіальна залежність, що визначає довжину хвилі світла, яке випромінюється чи поглинається атомом водню при переході електрона з однієї орбіти на іншу:

, (6.5)

де R'– постійна Рідберга (R' = 1,1010 м^–1 ).

Оскільки , то формула (6.5) може бути переписана для частот:

(6.6)

де = 3,2910¹⁵ с^–1 теж називають постійною Рідберга.

Серіальна залежність для довжин хвиль ліній спектру воднеподібних іонів:

(6.7)

де Z – порядковий номер елемента в таблиці Менделєєва.

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Для атома водню обчислити радіус першої борівської орбіти і швидкість електрона на ній.

Розв'язання

Радіус n–ї орбіти r_n і швидкість v_n електрона на ній пов'язані між собою рівнянням (6.1) першого постулату Бора. Ще одне рівняння, що пов'язує величини r_n і ν_n , одержимо, записавши ІІ закон Ньютона для електрона, що рухається під дією кулонівської сили притягання ядра по коловій орбіті. Враховуючи, що ядром атома водню є протон, заряд якого дорівнює по модулю заряду електрона e, запишемо:

, (1)

де m – маса електрона, – доцентрове прискорення. Розв'язавши разом рівняння (1) і (6.1), знайдемо:

Підставивши тут n = 1 і виконавши обчислення, одержимо:

r₁ = 0,5310^–10 м, ν₁ = 2,210⁶ м/с .

Задача 2. Визначити потенціал іонізації та перший потенціал збудження атома водню.

Розв'язання

Потенціалом іонізації U_i називають ту найменшу різницю потенціалів, яку повинен пройти електрон в прискорюю чому полі, щоб при зіткненні з даним незбудженим атомом іонізувати його. Робота по видаленню електрона з атома А_i дорівнює роботі сил електростатичного поля, що прискорює електрон, А' = eU_i , тому

А_i = eU_i (1)

Враховуючи квантовий характер поглинання енергії атомом, можна сказати, що робота іонізації А_i рівна кванту енергії h, погли­нутому атомом водню при переході електрона з першої орбіти на орбіту, що відповідає n = . Застосувавши формулу (6.6) і під­ставивши в неї n = 1, n = , одержимо:

(2)

З (1) і (2) знайдемо 13,6 B.

Перший потенціал збудження U₁ – це та найменша різниця потен­ціалів, яку повинен пройти електрон в прискорюючому електричному полі, щоб при зіткненні з незбудженим атомом перевести його в перший збуджений стан. Для атома водню це відповідає переходу електрона з першої борівської орбіти на другу. Прирівнявши знову роботу сил прискорюючого електричного поля eU і квант енергії h, який поглинутий атомом при його переході в перший збуджений стан, та підставивши n₁ = 1, n₂ = 2, одержимо:

,

звідки 13,6 B = 10,2 B.

Задача 3. Визначити енергію  фотона, що відповідає другій лінії в першій інфрачервоній серії (серії Пашена) атома водню.