Физика / 14.________ ______ ________ ____

Якщо у металі концентрація валентних електронів n ≈5 1028 м-3, то енергія Фермі має значення Ef (0) ≈ 5 еB.

Знаючи розподіл електронів по енергіям, можна знайти їх середню

Нагрівання електронного газу до температур менших знайденої може збуджувати лише частину електронів найвищих рівнів, а тому їх внесок у теплоємність металу досить незначний. Якщо ввести поняття температури Фермі

TF = EkF ,

то відношення класичної теплоємності Скл до теплоємності електронного газу Се при кімнатній температурі буде мати значення

Cкл = T ~ 10−3 .

Сe TF

Цей результат указує на незначний внесок електронного газу в теплоємність металу, яка визначається за Дебаєм в основному акустичними коливаннями кристалічної решітки.

б). Електрони у періодичному полі кристалічної решітки. Енергетичні зони. Типи провідності кристалів

Вище було показано, що в наближенні вільних електронів кристала їх

енергія змінюється квазінеперервно з кроком дискретності ~ 10−23 еВ. В дійсності рух валентних електронів у кристалі відбувається в потенціальному полі кристалічної решітки. Уявимо собі на мить, що атоми кристала розведені так далеко, що взаємодія між ними відсутня. У цьому випадку періодичне поле кристала є повторюванням потенціального поля ізольованогоr атома. Для такого одновимірного кристала з постійною решітки a , кристалічне поле зображено на Мал.88.

У кожній точці r потенціальна енергія визначається лише потенціальною кривою найближчого атома. Псі-функція електрона при

цьому буде наближено такою ж як і для електрона ізольованого атома, а власні значення енергії дискретні.

При зближенні атомів зростає енергія їх взаємодії. При цьому рівні енергії атомів не співпадають, а трансформуються у смугу або зону певної ширини, що визначається обмінною енергією взаємодії атомів.

Природа цієї енергії пов’язана з тим, що, внаслідок тотожності електронів, сусідні ядра у просторі перекриття орбіталей електронів можуть обмінюватись ними. Завдяки такому обмінному ефекту електрони у кристалі не локалізуються навколо окремих ядер, а ‘вільно’ пересуваються від атома до атома по всьому кристалу. Схематично процес утворення зон з ізольованих дискретних рівнів енергії показано на Мал.89.

У стані І атоми не взаємодіють. Стан ІІ характеризується збільшенням потенціальної ями за рахунок збільшення енергії взаємодії при зближенні ядер. У стані ІІІ відбувається перехід атомних рівнів

узону: виникають N дуже близьких

Блох запропонував шукати у вигляді

ψk(r) = Uk(r) e іkr.

У цьому виразі функція rUk(r) називається функцією Блоха. Це періодична функція з періодами ar,b,cr.

Енергетичні рівні кристала, що визначаютьсяr рівнянням (13) мають

іншу залежність від хвильового вектора k , ніж рівні, у випадку коли U(r)=0. По-перше, серед них розрізняють зони дозволених квазінеперервних енергій, число котрих у зоні дорівнює кількості атомів кристала, та заборонених зон енергій. По-друге, кожнійr з дозволених зон відповідає певна

область значень хвильового вектора k , яку називають зоною Брилюєна. На границях зон енергія має розриви. Ширини дозволених зон пропорційні величині перекриття електронних оболонок атомів кристалів (величині обмінної енергії), тобто зона тим ширше, чим вище вона розташована і навпаки для ширини забороненої зони. При великих значеннях енергії або під дією зовнішнього силового поля дозволені зони можуть перекриватися, накладатися одна на іншу та змінювати свою структуру. Схематично залежність енергії електрона у періодичному одномірному кристалічному полі показана на Мал.90.

Поверхні Фермі (ізоенергетичні поверхні у k-просторі) у трьохмірних кристалах визначаються експериментально. Вони мають досить складний вигляд ніж у випадку вільного електрона з U(r)=0, де ця поверхня являє собою сферу.

На основі уявлення про енергетичні зони створена зонна теорія кристалів, яка обґрунтовує існування у природі провідників, діелектриків та напівпровідників. Ця теорія пояснює також їх фізичні властивості.

§ 79. Основні поняття зонної теорії

Поряд із дозволеною та забороненою енергетичними зонами введемо поняття валентної зони та зони провідності (вільної зони). Перша

утворюється з енергетичних рівнів електронів заповнених зовнішніх оболонок атомів, а друга - або частково заповнена валентними електронами, або вільна й утворюється енергетичними рівнями вільних, відірвавшихся від атомів електронів. В залежності від співвідношення між ширинами заборонених зон та наявністю зон провідності кристалічні тіла поділяються на три групи : метали, діелектрики та напівпровідники.

Метали. Кристали металу мають частково заповнену зону провідності. Наприклад, розглянемо кристал натрію. Цей атом має 11 електронів у таких

відміну від Na, в атомі магнію Mg, який має 12 електронів, оболонка 3s заповнена, але кристал є хорошим провідником. Це пов'язано з тим, що при утворенні кристала магнію, його кристалічне поле деформує зони так, що в результаті існує перекриття сусідніх 3s та 3p зон. У зв'язку з цим у Mg 3p зона є зоною провідності.

Діелектрики або ізолятори. У випадку, коли валентна зона заповнена повністю при T→ 0 K, а зона провідності не має електронів і відстань ∆Е між цими зонами (ширина забороненої зони) становить декілька еВ ( > 5 еВ), то кристал відноситься до діелектриків. Під дією електричного або теплового поля електрони з валентної зони не можуть перейти у зону провідності. Виключення становить електричний пробій діелектрика - електрична іонізація атомів криcтала. До таких кристалів відносяться, наприклад, NaCl із ∆Е= 6 еВ, вуглець С із ∆Е= 5,2 еВ та інші.

Напівпровідники (н/п). До класу н/п відносять кристали з вільною зоною провідності і повністю заповненою валентною зоною при T→ 0 K, як і у випадку діелектриків, але у них ширина забороненої зони ∆Е < 3 еВ ( див. Таблицю 1). Наприклад, кремній Sі має ∆ Е = 1,1 еВ, германій Ge - ∆E = 0,72 еВ, As - ∆E=1,2 еВ, Se має ∆Е=0,1 еВ, Те має ∆Е=0,3 еВ і т.п. Для таких кристалів достатньо теплових енергій, щоб перевести електрон із валентної зони до зони провідності.

Під дією зовнішнього електричного поля на напівпровідник, в ньому поряд із направленим рухом вільних електронів у зоні виникає направлений рух валентних електронів по вакансіям у валентній зоні (якщо вони є), тобто без відриву від атомів.

Цікавим є утворення зон у кристалах елементів четвертої групи, наприклад, кремнію. Ці елементи мають 4 валентних електронів і їх кристали мали б бути металами, так як валентна р-зона містить два електрони на атом і заповнена лише на 1/3. Але експеримент показує, що 3р-зона розчіплюється на дві зони, одна з яких об’єднується з 3s-зоною, а друга виступає як валентна і повністю заповнена при температурі T → 0 K, тобто кремній є напівпровідником. На сьогоднішній день утворено багато бінарних сплавів,

що виявляють властивості напівпровідників. Наприклад, Mg2Sn із ∆Е= 0,3 еВ, Ag2Te із ∆Е=0,17 еВ, GaAs із ∆Е=1,4 еВ та багато інших.

Таблиця 1. Характеристики діелектриків та напівпровідників.

§ 80. Електропровідність металів

а). Рівняння динаміки руху електронів. Метод ефективної маси

Для дослідження руху електронів у періодичному полі кристала

достатньо записати та розв'язати рівнянняr другогоr закону Ньютона r

ma = Fе + Fкр, (1) r

де m-класична маса електрона, Fе - сила створена зовнішнім електричним, а r

Frкр- кристалічним полями. Але для цього потрібно описати у явному вигляді Fкр, що ми зробити не в змозі. З огляду на це, було запропоновано

досліджувати рух електрона у кристалі методом ефективної маси m* . В основі методу лежить корпускулярно-хвильовий дуалізм електрона: псіфункція електронаr у кристалі являє собою хвильовийr пакет з несучою

частотою ω(k) , яка є функцією хвильового вектора k . У такому випадку

покладаємо, що швидкість електрона V співпадає із груповою швидкістю Vгр хвильового пакета

і може бути визначена через його енергію E = hω наступним чином

Величину прискорення електрона можна визначити з (3) таким чином

просторі періодичного потенціального поля кристала. У такому випадку властивості криcталічногоr поля закладаються у залежність енергії Е від

хвильового вектора k . Ця залежність визначається розв'язком відповідного рівняння Шредінгера. Підсумовуючи розглянуте, можна стверджувати, що метод ефективної маси дає можливість розглянути рух електрона у кристалічному полі під дією зовнішнього електричного поля, як рух вільного електрона, згідно рівняння (6).

Знаючи залежність Е від k, можна визначити m* та характер руху електрона. Наприклад, для одновимірного кристала біля дна першої дозволеної зони (точка А) залежність Е від k квадратична (див.на Мал.91) і співпадає з такою для вільного електрона, тобто:

m* ≈ m.

У точках перегину кривої (точка В) друга похідна від Е(k)

1 d 2 E = 0, i m* → ∞

h2 dk 2

Це означає, що електрони, які знаходяться посередині енергетичної зони, беруть обмежену участь в електропровідності. На верхніх енергетичних рівнях, під стелею першої зони Брилюєна (точка С), Е має максимум:

протилежного напрямкові цієї сили.

б). Квантова теорія електропровідності металів

Як показують квантово-механічні розрахунки величина провідності σ

металів з уведенням ефективної маси m* , по вигляду, співпадає із класичною провідністю

співпадає з дослідними даними, на відміну від класичної теорії, де σ ~ T−0,5 .

Зазначимо, що опір направленому рухові електронів під дією зовнішнього електричного поля пов'язаний з розсіюванням їх на тепловому коливальному русі вузлів кристалічної решітки (фононах) та її дефектах, домішках, вакансіях і механічних неоднорідностях.

§ 81. Надпровідність металів та сплавів

В 1911 році голландський інженер Камерлінг-Оннес відкрив явище надпровідності, яке полягає у тому, що при температурах менших 4 К ртуть Hg втрачає електричний опір. Таке охолодження ртуті було досягнуте за

допомогою рідкого гелію. За відкриття явища надпровідності у 1913 році

скінчена ширина ∆Tc температури перехідної області від границі лінійної

залежності опору до 0. Для чистих надпровідників ∆Tc ≈10-3 К. Про характер

опору електричному струмові надпровідника говорить той факт, що струм, створений за рахунок електромагнітної індукції у кільцевому надпровіднику, може існувати роками. Розглянемо деякі властивості надпровідних станів матеріалів.

а). Надпровідник у магнітному полі. У 1933 році Майснер В. та Р.

Оксендфельд дослідили явище виштовхування магнітного поля з надпровідника. Це означає, що при переході провідника у надпровідний стан, індукція В магнітного поля, створена в ньому зовнішнім магнітним полем, встановиться рівною нулю у всьому об’ємі за винятком тонкого поверхневого шару. Фактично надпровідник є ідеальним діамагнетиком. Товщина x- шару, на який магнітне поле проникає у надпровідник, добре описується експоненціальною залежністю

де B0 - індукція на поверхні при x=0, δ -стала. При досягненні зовнішнім магнітним полем індукції В значення рівного Bc , надпровідний стан

матеріалу зникає. Теж саме відбувається, коли власне магнітне поле надпровідника, створене струмом Іс у ньому, досягає значень Bc . Струм Ic

називають критичним. Залежність Ic та Bc від температури надпровідника

де Bc0 − індукція Bс при Т=0 К. Залежність (10) показана на на Мал.93 .

б). Ефект Джозефсона. У 1962 році Б.Джозефсон передбачив можливість двох незвичайних ефектів, зв’язаних із надпровідниками у пакеті Джозефсона (див.на Мал.94). Ці ефекти дістали назву стаціонарного й нестаціонарного ефектів Джозефсона.

Стаціонарний ефект полягає в тому, що через діелектричний

прошарок товщиною ≈10−9 м між двома різнойменними надпровідниками у відсутності зовнішнього джерела струму через пакет тече постійний струм (див.Мал.94.а)). Електрони з надпровідника з більшою критичною температурою тунелюють у надпровідник із меншою критичною температурою.

Нестаціонарний ефект виникає при створенні на цих надпровідниках сталої різниці потенціалів U (див.Мал.94.б)). У цьому випадку через діелектричний контакт протікає змінний струм

I = I0 sinωt, ω = 2eUh .

З точки зору квантової механіки, ці явища можна описати, якщо діелектричний прошарок розглядати як тунельний. Такий контакт описується квантовими властивостями обох надпровідників. Практично ефект Джозефсона застосовується для створення приладів, що вимірюють струм з

точністю до 10−10 А, напругу від 3 В до 10−15 В, а індукцію магнітного поля до 10−18 Тл.

в). Квантування магнітного потоку. У

1961 році Дівером та Фейрбенком і незалежно від них Доллом та Набауером уперше експериментально зафіксовано квантування такої макроскопічної величини, якою є магнітний потік Ф, що створюється струмом у

надпровідниковому кільці. Вони установили, що цей потік квантується і може бути представлений у виді

Фn = nФ0 , Φ0 = hq ,

де Ф0 − квант магнітного потоку. Носієм струму у надпровіднику, що

створює магнітний потік є заряд q куперівської пари (див. нижче) величиною 2е і тоді

Φ0 = 2eh = 2 1.6 10−19 = 2.068 10−15 Вб.

Величина Фо була виміряна при дослідженні ефекту Джозефсона, де при певних умовах було виявлено, що величина критичного струму Ікр через діелектричний контакт визначається квантом магнітного потоку Фо.

§ 82. Високотемпературна надпровідність

У 1986 році К.Мюллер та Дж.Беднорец зафіксували існування надпровідності при температурах ~100 К в матеріалах, що називаються кераміками. Кераміки створюються методом відпалювання відповідних сумішей на основі La-Sr-Cu-O та Y-Ba-Cu-O при температурах до 1000 °С і більше в атмосфері кисню з надлишком або з його недостачею при різних тисках. Наприклад, кераміка YBa2Cu3O7 , що складається з набору

спікшихся кристаликів довжиною 0,2-0,4 мм і товщиною 5-7 µм, утворюється відпалюванням при 950-1100 °С у атмосфері кисню і вона має

критичну температуру Tc = 90 K . Заміна у кераміках ітрію Y на інші

рідкоземельні елементи, як то на європій Еu , гадоліній Gd, ітербій Yb та інші, дає кераміки, у яких Тс має порядок азотних температур.

§ 83. Теоретичні засади низькотемпературної надпровідності

У 1957 році американські вчені Бардін, Купер та Шріффер створили теорію надпровідності металів, що отримала назву теорія БКШ. Після цілого ряду експериментальних підтверджень висновків цієї теорії, її авторам у 1972 році була присуджена Нобелівська премія. Ця теорія полягає у тому, що при низьких температурах електрони, обмінюючись фононами, взаємодіють між собою. Взаємодія носить характер тяжіння між електронами, що при температурах близьких до Тс призводить до об’єднання електронів у пари, всупереч кулонівському відштовхуванню. Ці пари дістали назву ‘куперівських’ за прізвищем одного з авторів БКШ. У такі пари об’єднуються електрони провідності з протилежними моментами імпульсу та спінами. Розміри куперівських пар 10-6 м, а їх енергії близькі до енергій Фермі. Утворені пари, на відміну від електронів, являються бозонами, число яких у певному енергетичному стані необмежене.

При зменшенні температури відбувається накопичення куперівських пар у найнижчому енергетичному стані. Це явище носить назву бозеконденсації. Хвильова функція куперівської пари для однорідного надпровідника без струму може бути записана у вигляді

де A − є стала дійсна величина, а ϕ −фаза псі-функціі.

При бозе-конденсації куперівські пари об’єднуються в ансамбль взаємодіючих між собою пар. Для зруйнування однієї з таких пар потрібно затратити енергію Еp, що дорівнює енергії взаємодії електронів у парі. В термінах квантової теорії це означає, що енергетичний спектр ансамблю буде мати дискретну структуру: збуджений стан, відокремлений від основного на величину Еp, яку називають енергетичною щілиною. На всі збудження з енергією меншою ніж Ep , наприклад, взаємодія з тепловими коливаннями

решітки, ансамбль реагувати не буде, тобто рух пар із зарядом q=2e не буде мати опору.

Експериментальне підтвердження теорії БКШ дають досліди, що визначили заряд пари, дискретність магнітного потоку Фо, відсутність надпровідного стану у таких металах як мідь, срібло та інших. Окрім цього потрібно відзначити, що завдяки цій теорії вперше установлено зв’язок між макроскопічним струмом стаціонарного ефекту Джозефсона та фазою

хвильової функції куперівської пари

I = − Bsin ∆ϕ, ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1, ϕ2 > ϕ1,