ДИФУР ГУРЕВИЧ ЛЕКЦИИ

Итак, в рассматриваемом случае k = 1 имеют место формулы

то при вычислении P (; 1) одну из этих матриц можно найти из (6.45)

при условии, что остальные матрицы уже найдены. С другой стороны, если все матрицы найдены без использования (6.45), то равенство (6.45) может быть использовано для контроля правильности проведенных вы- числений.

Рассмотрим пример на вычисление матрицианта.

Пример 6.2. Пусть

Найдем eA(x x0). Имеем

Отсюда 1 = 1, k1 = 2, 2 = 2, k2 = 1. Далее, используя формулы (6.31), находим:

Для нахождения P (2; 1) воспользуемся формулой (6.44), учитывая, что r0(2) = 1. В результате получим

Из (6.41) имеем

121

Как уже отмечалось, контролем правильности вычислений является выполнение равенства P (1; 1) + P (2; 1) = E. Таким образом, матрициант

имеет вид

Замечание. Особенно просто нахождение матрицианта проводится в случае, когда матрица A имеет только одно собственное значение 1, которое, следовательно, имеет кратность n. Тогда P (1; 1) = E, а поэтому

122

7.Теория устойчивости

Âэтом разделе изучаются свойства решений нормальной системы

В создании теории устойчивости, элементы которой излагаются ниже, важная роль принадлежит советским и российским ученым, начиная с основоположника этой теории А. М. Ляпунова.

7.1.Основные понятия теории устойчивости

Для формулировки основных понятий теории устойчивости нам потребуется следующее определение.

Определение 7.1. Пусть A = (ajk) матрица размерности n m. Нормой матрицы A называется число

Замечание. Из (7.3) следует, что при m = 1, то есть когда A

kAk = max jajkj. Формула (7.3) выбрана для определенности. Все по-

j;k

следующие результаты не зависят от способа задания нормы матрицы. Замечание. В случае, когда матрица является функцией, то есть A(x), ее норма зависит от x. Очевидно, что если A(x) непрерывная

матрица, то kA(x)k непрерывная функция.

Отметим некоторые свойства нормы матрицы.

Теорема 7.1. Справедливы следующие утверждения:

1)kAk 0, причем kAk = 0 тогда и только тогда, когда A нулевая матрица;

2)k Ak = j jkAk для любого 2 C;

123

3)jajkj kAk для любых j; k;

4)kA + Bk kAk + kBk, где A и B матрицы одинаковой размерно-

ñòè;

, ãäå

ности;

6)kA Bk kAk kBk, где A и B произвольные матрицы, для которых имеет смысл произведение A B;

7) если A(x) непрерывная на отрезке [ ; ] матрица, то

RR

A(x) dx kA(x)k dx.

(Интеграл слева понимается как матрица, элементами которой

R

являются числа ajk(x) dx).

Доказательство. Установим лишь свойства (4)-(7). Остальные свойства очевидны.

Докажем 4). Пусть A = (ajk), B = (bjk) матрицы одинаковой размерности n m. Тогда

= kAk + kBk. То есть свойство 4) доказано.

Для доказательства 5) запишем неравенство из 4), заменив в нем A на A B: kAk kA Bk+kBk. Отсюда kA Bk kAk kBk. Запишем

Докажем свойство 6). Пусть A = (ajl) n r матрица, а B = (blk) r m матрица. Тогда C = A B = (cjk) будет n m матрицей. Из определения произведения матриц имеем

r

X

cjk = ajlblk: l=1

124

Поэтому

Таким образом, свойство 6) доказано.

Наконец, докажем свойство 7). Используя хорошо известные свойства интеграла, получим:

Теорема доказана.

Очевидно, что kAk характеризует степень близости матрицы A к ну-

левой матрице и является естественным обобщением понятия модуля числа.

Теперь возвратимся к уравнению (7.2). Всюду в дальнейшем будем для простоты предполагать, что F (x; Y ) удовлетворяет условиям теоре-

мы 2.10, и, следовательно, решение любой задачи Коши определено на полуоси [a; 1).

Определение 7.2. Решение ~ 2 1

Y (x), x [a; ), называется устойчи- вым(или устойчивым по Ляпунову ), если для любого " > 0 существует такое > 0, что для всякого решения Y (x), для которого

В противном случае ~

Y (x) называется неустойчивым.

Другими словами, ~

Y (x) называется неустойчивым, если существует "0 > 0, такое что при любом > 0 найдется решение Y (x), удовлетворя-

Таким образом, устойчивость решения означает, что малое изменение начального условия влечет малое изменение решения на всей полуоси.

125

Свойство устойчивости является важным в прикладных вопросах, так как при изучении различных процессов начальные условия определяются путем измерений и, следовательно, всегда содержат определенную погрешность. Поэтому важно быть уверенным, что малые погрешности в начальных условиях не приводят к значительным искажениям решения.

Дадим геометрическую интерпретацию понятия устойчивости решения в простейшем случае n = 1. Для этого рассмотрим скалярное уравнение y0 = f(x; y), и пусть y = y~(x) решение этого уравнения, определен-

ное на полуоси [a; 1) и удовлетворяющее начальному условию y(a) = y0. Построим график этого решения, а также графики функций y~(x) " и

y~(x) + ". В результате получим криволинейную полуполосу шириной 2" с осью вдоль решения y~(x). Отметим на плоскости точки M(a; y0 ) è N(a; y0 + ) и проведем отрезок MN. Тогда устойчивость решения y~(x) геометрически означает, что график всякого решения y(x), выходящего из отрезка MN, лежит в построенной полуполосе при x a.

Определение 7.3. Система (7.2) называется приведенной, если она имеет тривиальное решение.

Следующее утверждение очевидно.

Теорема 7.2. Для того чтобы система (7.2) была приведенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество F (x; 0) 0

ïðè x a.

Применительно к тривиальному решению понятие устойчивости имеет следующий вид.

Определение 7.4. Тривиальное решение системы (7.2) называется

устойчивым(или устойчивым по Ляпунову ), если для любого " > 0

существует такое > 0, что для всякого решения Y (x), для которого kY (a)k < , при x a выполняется неравенство kY (x)k < ".

Аналогично переформулируется понятие неустойчивости тривиаль-

ного решения.

Определение 7.5. Решение ~

Y (x) называется асимптотически

устойчивым, если: 1) это решение устойчиво; 2) существует h > 0, такое

, удовлетворяющих условию k ~ k что для всех решений Y (x) Y (a) Y (a) <

, выполняется k ~ k ! ! 1.

< h Y (x) Y (x) 0 ïðè x

В частности, тривиальное решение называется асимптотически

устойчивым, если оно устойчиво и lim Y (x) = 0 при условии, что

x!1

kY (a)k < h.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих введенные понятия.

Пример 7.1. Изучим вопрос об устойчивости и асимптотической

126

устойчивости тривиального решения системы

+ c2j; jc1 c2jg. Покажем, как следует выбрать , чтобы из условия kY (0; c1; c2)k < следовало kY (x; c1; c2)k < " при x 0. С этой целью рассмотрим систему уравнений

2c1 + 2c2 = 1; c1 c2 = 2:

Отсюда c1 = 14( 1 + 2 2); c2 = 14( 1 2 2). Поэтому jc1j maxfj 1j; j 2jg, jc2j fj 1j; j 2jg. Следовательно, если j 1j < è j 2j < , òî åñòü

kY (0; c1; c2)k < , òî jc1j < , jc2j < . С другой стороны,

Поэтому тривиальное решение исходной системы устойчиво. Теперь убе-

димся, что оно не является асимптотически устойчивым. В самом деле, при любом h > 0 можно указать решение вида Y (x) = c1 21 , äëÿ êîòî-

ðîãî kY (0)k = 2jc2j < h, но Y (x) не стремится к нулю при x ! 1.

Пример 7.2. Пусть

x ! 1.

В рассмотренных примерах изучался вопрос об устойчивости (асимптотической устойчивости) тривиального решения. Следующая теорема показывает, что вопрос устойчивости (асимптотической устойчивости) любого решения может быть сведен к исследованию соответствующих свойств для тривиального решения некоторой приведенной системы.

Теорема 7.3. Для того чтобы решение ~

Y (x) уравнения

127

являлось устойчивым(асимптотически устойчивым), необходимо и достаточно, чтобы тривиальное решение уравнения

где (x; Z) = F (x; Z + Y (x)) F (x; Y (x), было устойчивым (асимпто-

тически устойчивым).

Доказательство. Необходимость. Из устойчивости решения ~

Y (x)

следует, что для произвольного " > 0 существует = ("), такое что для любого решения Y (x) уравнения (7.6), удовлетворяющего условию

при x a справедливо неравенство

Убедимся, что тривиальное решение уравнения (7.7) устойчиво. Для этого покажем, что в качестве , участвующего в определении устойчи-

вости тривиального решения, можно взять ("), найденные выше.

В самом деле, пусть Z(x) решение (7.7), удовлетворяющее условию kZ(a)k < . Докажем, что при x a выполняется kZ(x)k < ". С этой

Кроме того, k k k ~ k , поэтому k k k

Z(a) = Y (a) Y (a) < Z(x) = Y (x)

~ k

Y (x) < ". Получили требуемое. Доказательство для случая асимпто-

тической устойчивости аналогично.

Достаточность. Снова остановимся лишь на вопросе об устойчивости. Пусть тривиальное решение уравнения (7.7) устойчиво. По определению это означает, что для любых " > 0 существует = (") > 0,

такое что для любого решения Z(x) уравнения (7.7), удовлетворяющего условию kZ(a)k < , справедливо неравенство kZ(x)k < " при x a.

Докажем устойчивость ~

Y (x). Для этого достаточно убедиться, что если Y (x) произвольное решение (7.6), для которого имеет место (7.8) (в качестве берем указанное выше), выполняется (7.9).

~

Для этого рассмотрим Z(x) = Y (x) Y (x). Непосредственная подстановка показывает, что Z(x) решение (7.7), причем kZ(a)k < . Отсюда следует, что kZ(x)k < ". Следовательно, справедливо (7.9).

128

7.2.Устойчивость линейных систем

Âэтом разделе изучаются вопросы устойчивости линейных систем

где A(x); F (x) заданные матрица и вектор-функция, непрерывные на луче [a; 1).

В силу следствия 2.2 всякое решение этой системы определено на этом же луче.

Определение 7.6. Линейная система (7.10) называется устой- чивой(асимптотически устойчивой), если все ее решения устойчи- вы(асимптотически устойчивы).

Наряду с системой (7.10) рассмотрим соответствующую однородную

Теорема 7.4. Для устойчивости(асимптотической устойчивости) системы (7.10) необходимо и достаточно, чтобы было устойчи- во(асимптотически устойчиво) тривиальное решение однородной системы (7.11).

Справедливость данной теоремы следует из теоремы 7.3, так как в рассматриваемом случае (x; Z) = A(x)Z. Таким образом, вопрос об

устойчивости системы (7.10) сводится к исследованию свойств решений однородной системы.

Теорема 7.5. Система (7.11) устойчива тогда и только тогда, когда каждое ее решение ограничено на полуоси (т. е. для любого решения Y (x) существует C > 0, такое что неравенство kY (x)k C выполня-

åòñÿ ïðè âñåõ x 2 [a; 1)).

Доказательство. Необходимость. Пусть система (7.11) устойчи- ва. Предположим, что существует неограниченное решение Y0(x). Ïî-

следнее означает, что sup kY0(x)k = 1. Отсюда следует, что существу-

x a

åò fxkg1k=1; xk ! 1, такая что kY0(xk)k > k. В силу устойчивости тривиального решения для " = 1 существует такая > 0, что если

kY (a)k < , то kY (x)k < 1. Выберем m настолько большим, чтобы

m1 kY0(a)k < , тогда для x a справедливо неравенство m1 kY0(x)k < 1. Отсюда kY0(x)k < m. В частности kY0(xk)k < m. Получили противоре-

÷èå.

Достаточность. Пусть все решения ограничены. Обозначим че- рез Ta(x) матрициант системы (7.11). Так как столбцы Ta(x) являются решениями системы (7.11), то матрица Ta(x) является ограниченной,

129

т. е. существует M > 0, такое что для любых x справедливо нера-

венство kTa(x)k M. Всякое решение Y (x) допускает представление

Y (x) = Ta(x)Y (a). Отсюда kY (x)k = kTa(x)Y (a)k kTa(x)kkY (a)kMkY (a)k < ", åñëè kY (a)k < M"

Теорема 7.6. Линейная однородная дифференциальная система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все ее решения стремятся к нулю при x ! 1.

Доказательство. Необходимость. Из асимптотической устойчивости тривиального решения следует, что существует h > 0, такое, что если

kY (a)k < h, то Y (x) ! 0 при x ! 1. Пусть Y0(x) произвольное решение однородной системы. Выберем m настолько большим, чтобы решение

Z(x) = m1 Y0(x) удовлетворяло условию kZ(a)k < h, тогда m1 Y0(x) ! 0 при x ! 1. Но тогда и Y0(x) ! 0 ïðè x ! 1.

Достаточность. Пусть все решения стремятся к нулю при x ! 1.

Отсюда следует, что все решения ограничены, а потому тривиальное решение устойчиво. Дальнейшее очевидно.

Рассмотрим теперь случай постоянной матрицы, т. е. A(x) = A. Как было установлено ранее, общее решение однородной системы

имеет вид

m

Y (x) = Xe x hE + 1!x (A E) + : : : +

=1

ãäå Y0 постоянный вектор.

Теорема 7.7. Для того чтобы система (7.12) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы:

1)при = 1; 2; ::; m выполнялось неравенство Re 0,

2)åñëè Re 0 = 0, òî (A 0 E)P ( 0; 1) = 0.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что система (7.12) устойчива. Докажем, что все имеют неотрицательные вещественные части. В самом деле, пусть имеется собственное значение k = + i , для которого > 0. Тогда, как известно из метода Эйлера, у системы

130