ДИФУР ГУРЕВИЧ ЛЕКЦИИ

точно больших нет корней уравнения (5.26). Для этого изучим функцию

Теорема 5.8. Собственные функции y0(x; n), n = n0; n0 + 1; : : : допускают представление

Но cos x = 1 + O(x) при x ! 0. Поэтому cos O (1=n) x = 1 + O (1=n). Аналогично, sin O (1=n) = O (1=n). В результате приходим к (5.27).

101

Пример 5.1. Рассмотрим простейшую краевую задачу, получающуюся из (5.8)-(5.10) при q(x) 0:

y00 + y = 0; y(0) = 0; y( ) = 0:

В этом случае y0(x; ) = sin x, поэтому ( ) = sin . Уравнение для определения собственных значений имеет вид sin = 0. Отсюда

n = n, n = 2n = n2. Собственная функция, соответствующая n = = n2, имеет вид y0(x; n) = sin nx. В силу найденных асимптотических

представлений (5.24) и (5.27) для n è y0(x; n) получаем, что при q(x) 6 60 собственные значения и соответствующие собственные функции при

n ! 1 стремятся к собственным значениям и собственным функциям простейшей краевой задачи.

102

6. Линейные системы дифференциальных уравнений первого порядка

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений следующего вида:

Как было доказано ранее, задача Коши для системы (6.1) с начальными условиями

ãäå x0 2 [a; b], fyk0gnk=1 произвольный набор чисел, имеет единственное решение, определенное на отрезке [a; b].

Åñëè f1(x) = f2(x) = : : : = fn(x) 0, то система называется однородной.

Âнастоящем разделе для таких систем устанавливаются факты, аналогичные результатам, относящимся к теории линейных дифференциальных уравнений n-го порядка. Это обстоятельство не является слу- чайным, так как линейные уравнения n-го порядка сводятся к линейным системам 1-го порядка (см. следствие 2.1).

Âдальнейшем будем использовать векторно-матричную форму записи задачи Коши (6.1) (6.2):

103

6.1.Линейные однородные системы

Очевидно, что оператор L является линейным, т. е. для любых Y1(x), Y2(x) и произвольных констант c1, c2 справедливо равенство

Отсюда вытекает справедливость следующих утверждений.

Теорема 6.1. Если функции Y1(x); : : : ; Ym(x) являются решениями

есть решение (6.7).

Теорема 6.2. Если вектор-функции Y1(x) è Y2(x) являются решениями уравнений (6.5) и (6.7) соответственно, то функция Y (x) = = Y1(x) + Y2(x) является решением (6.5).

Теорема 6.3. Предположим, что функции akj(x) являются ве-

U(x); V (x) также решения уравнения (6.7).

Для доказательства теоремы 6.3 достаточно заметить, учитывая вещественность akj(x), что L(U +iV ) = L(U)+iL(V ) 0, и следовательно,

L(U) 0, L(V ) 0.

Определение 6.1. Система вектор-функций fYk(x)gmk=1 называется линейно зависимой на отрезке [a; b], если существует набор констант

fc0kgmk=1, среди которых есть по крайней мере одна, отличная от нуля

m

(ò. å. P jc0kj > 0), таких что для всех x 2 [a; b] справедливо равенство

k=1

m

P c0kYk(x) = 0. В противном случае система fYk(x)gmk=1 называется ли-

k=1

нейно независимой.

Другими словами, система fYk(xm)gmk=1 называется линейно независи- мой на [a; b], если из условия, что P c0kYk(x) = 0 для любых x 2 [a; b],

k=1

следует, что все c0k равны нулю.

Определение 6.2. Определителем Вронского системы вектор-

104

функций fYk(x)gnk=1 называется следующий определитель:

Теорема 6.4. Определитель Вронского линейно зависимой системы

функций тождественно равен нулю.

Доказательство. Пусть система fYk(x)gnk=1 линейноnзависима на

чим определитель с нулевым первым столбцом и потому равный нулю. Указанные преобразования не меняют величины определителя, следовательно, W (x) 0. Теорема доказана.

Теорема 6.5. Для того чтобы система решений fYk(x)gnk=1 óðàâ- нения (6.7) была линейно независимой на [a; b], необходимо, чтобы ее

определитель Вронского был отличен от нуля при любых x 2 [a; b],

и достаточно, чтобы он был отличен от нуля хотя бы при одном x0 2 [a; b].

Доказательство. Необходимость. Воспользуемся рассуждением от противного, т. е. предположим, что система решений fYk(x)gnk=1 ÿâëÿ-

ется линейно независимой и при этом существует x0 2 [a; b], такое что

W (x0) = 0. Из последнего условия следует, что столбцы W (x0) линейно

n

зависимы, т. е. существует набор чисел fc0kgnk=1, P jc0kj > 0, для которого

имеет место равенство

k=1

n

Y (x0) = 0. Но решением этой задачи является тривиальное решение,

105

т. е. Y (x) 0. Поэтому в силу единственности решения задачи Коши

n

~ P 0 , т. е. система f gn

Y (x) = ckYk(x) 0 Yk(x) k=1 линейно зависима. Полу-

k=1

чили противоречие.

Достаточность. Предположим, что в некоторой точке x0 определи-

тель Вронского отличен от нуля, но тогда в силу теоремы 6.4 система fYk(x)gnk=1 линейно независима.

Определение 6.3. Линейно независимая система fYk(x)gnk=1 ðåøå- ний уравнения (6.7) называется фундаментальной системой решений .

Очевидно, что предыдущая теорема является критерием фундаментальности системы решений, из которого, как и в случае линейного уравнения n го порядка, следует утверждение.

Теорема 6.6. У всякого уравнения вида (6.7) существует фундаментальная система решений.

Остановимся теперь на одном частном случае, когда удается полу- чить простое представление для фундаментальной системы решений.

Теорема 6.7. Пусть A постоянная матрица, у которой имеется

имеет фундаментальную систему решений вида fe kxZkgnk=1, ãäå Zk постоянные ненулевые векторы.

Доказательство. Будем искать решения уравнения (6.10) в виде

0 1 z1

Y (x) = e xZ, ãäå Z = @ . A постоянный ненулевой вектор. Подстав-

zn

ляя Y (x) в (6.10), получим e xZ e xAZ = 0. Отсюда AZ Z = 0, или (A E)Z = 0, где E единичная матрица.

Запишем последнее уравнение в скалярном виде:

Таким образом, для нахождения fzkgn

k=1 получили линейную однородную алгебраическую систему уравнений. Известно, что для того чтобы эта система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю. Поэтому положим â (6.11) = k и обозначим произвольное нетривиальное решение полу- чившейся системы через fzmkgnm=1, k = 1; : : : ; n: Оста¼тся доказать, что

106

0 1 z1k

найденная система решений Yk(x) = e kx @ . A, k = 1; : : : ; n, является

znk

линейно независимой. n

Предположим, что P ckYk(x) 0. Покажем, что все ck равны нулю.

k=1

Для этого запишем последнее тождество в виде

Отсюда следует, что для любого m (m = 1; : : : ; n) справедливо тожде-

ckzmke kx 0:

k=1

Но система функций fe kxgnk=1 является линейно независимой. Поэтому для любого m имеем ckzmk = 0, k = 1; : : : ; n: Íî òàê êàê Zk 6= 0, òî äëÿ

любого k существует mk, такое что zmk;k 6= 0. Из равенства ckzmk;k = 0 следует, что ck = 0. Получили требуемое.

Замечание. Метод построения фундаментальной системы решений, использованный в предыдущей теореме, называется методом Эйлера.

Замечание. Для нахождения фундаментальной системы решений уравнения Y 0 = AY в случае кратных корней можно применить рас-

суждения, аналогичные тем, которые встречались в подобной ситуации для линейного дифференциального уравнения n-го порядка. При этом

решения, соответствующие собственному значению 0 кратности m, следует искать в виде Yk(x) = (z0k + z1kx + : : : + zm 1;kxm 1)e 0x, ãäå zjk

постоянные векторы, k = 1; : : : ; m. Позднее будет дан другой метод

построения фундаментальной системы решений, связанный с понятием матричной экспоненты.

Определение 6.4. Вектор-функция Y (x; c1; : : : ; cn) называется общим решением уравнения (6.3), если: а) при любых c1; : : : ; cn ýòà ôóíê-

107

Доказательство. Покажем сначала, что правая часть (6.12) удовлетворяет условию а). В самом деле, в силу линейности L имеем

:: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

>n

>

P

>

> ckynk(x0) = y~n(x0) yn÷(x0):

:

k=1

Относительно неизвестных fckgnk=1 эта система является линейной ал-

гебраической системой. Определителем этой системы является определитель Вронского фундаментальной системы fYk(x)gnk=1

ïðè x = x0, следовательно, он отличен от нуля, а система имеет един-

ственное решение fc0kgnk=1, которое является искомым.

Определение 6.5. Следом матрицы A(x) = (aik(x))nk;j=1 называется

уравнения (6.7), а W (x) ее определитель Вронского. Тогда для любого фиксированного x0 2 [a; b] справедлива формула

Доказательство. Найдем производную W 0(x), воспользовавшись формулой для дифференцирования определителя (3.12):

108

Вычислим, для определенности, W1(x). Сначала заметим, что так как

a1m(x)ym1(x) : : : a1m(x)ymn(x)

Wk0(x) = akk(x)W (x). Следовательно, W (x) удовлетворяет уравнению W 0 = Sp A(x) W . Интегрируя это уравнение с разделяющимися пере-

Замечание. Равенство (6.13) называется формулой Остроградского Якоби.

6.2.Формула Коши

Систему (6.1) запишем в виде

и вектор-функция соответственно.

109

Напомним, что под решением (6.16) понимается непрерывно диффе-

Начальные условия задачи Коши для уравнения (6.16) имеют вид

ãäå Y0 заданный постоянный вектор.

В дальнейшем оказывается полезным понятие матричного дифференциального уравнения и его решения. Рассмотрим уравнение вида

Определение 6.6. Матрица T (x) размерности n n называется ре-

шением уравнения (6.18) на отрезке [a; b] если: 1) T (x) имеет на [a; b] непрерывную производную; 2) справедливо тождество T 0(x) A(x)T (x),

x 2 [a; b].

Заметим, что матрица T (x) является, вообще говоря, комплексно-

значной. Задача Коши для (6.18) состоит в нахождении решения этого уравнения, удовлетворяющего следующему начальному условию:

Теорема 6.10. Для того чтобы матрица

ем (6.18), необходимо и достаточно, чтобы е¼ столбцы являлись решениями векторного уравнения

Доказательство. Обозначим k-й столбец матрицы T (x) через Yk(x).

Тогда k-й столбец матрицы A(x)T (x) будет равен T (x)Yk(x). Из определения равенства матриц следует, что тождество T 0 A(x)T (x) равно-

сильно тому, что k-й столбец матрицы T 0(x) тождественно равен k-му столбцу A(x)T (x), т. е. Yk0(x) A(x)Yk(x).

110