ДИФУР ГУРЕВИЧ ЛЕКЦИИ

есть решение Y (x) = e kxC, где C постоянный ненулевой вектор. Но тогда

kY (x)k = ke( +i )xCk = je( +i )xj kCk = e xkCk ! 1 ïðè x ! 1:

Следовательно, у системы существуют неограниченные решения, что противоречит устойчивости. Таким образом, Re 0. Пусть теперь

Re 0 = 0, ò. å. 0 = i ; 6= 0. Рассмотрим семейство решений уравнения (7.12) следующего вида:

ãäå Y0 произвольный постоянный вектор.

Предположим, что (A i E)P ( 0; 1) 6= 0. Выберем Y0 так, чтобы

(A i E)P ( 0; 1)Y0 6= 0. Имеем

ãäå Zj = j1!(A i E)jP ( 0; 1)Y0; j = 0; 1; ::; k 0 1. Обозначим через j0

т. е. существуют неограниченные решения. Получили противоречие. Достаточность. Пусть выполнены условия 1) и 2). Убедимся, что

все решения системы (7.12) являются ограниченными. Запишем общее решение системы в виде

где суммирование в первой сумме ведется по тем , для которых Re < < 0, а во второй Re = 0. Но xje x ! 0 при x ! 1, где j любое,

131

> 0 (доказать самим). Поэтому решение, представленное по формуле (7.16), является ограниченным.

Теорема 7.8. Линейная однородная система (7.12) асимптотиче- ски устойчива тогда и только тогда, когда при всех = 1; 2; ::; m спра-

ведливы неравенства Re < 0.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что система (7.12) асимптотически устойчива, отсюда следует, что она устойчива, и поэтому Re 0. Предположим, что имеется 0 , такое что Re 0 = 0, ò. å.

0 = i . Но тогда среди решений системы имеется решение вида Y (x) = ei xY0, ãäå Y0 6= 0. Поэтому kY (x)k = kY0k =6 0. Отсюда Y (x) 9 0.

Получили противоречие.

Достаточность. Пусть все Re < 0. Из (7.13) следует, что все решения Y (x) стремятся к нулю при x ! 1. Из теоремы 7.6 получаем

требуемое.

Замечание. Из доказанных теорем 7.6 и 7.7 следует, что для решения вопроса об устойчивости системы с постоянной матрицей важно уметь определять расположение корней алгебраического многочлена, не находя их. Ответ на этот вопрос дают следующие два критерия.

7.3.Критерии Михайлова и Гурвица

Критерий Михайлова это геометрический критерий, позволяющий определить, есть ли у данного полинома корни с положительной вещественной частью.

Отметим вначале следующее. Под arg z понимается одно из значе- ний аргумента комплексного числа z. Предположим, что точка z в ком-

плексной плоскости, начиная от положения z0 6= 0, движется по некоторой непрерывной кривой C, не проходящей через начало координат. В этом случае под arg z мы понимаем однозначную и непрерывную вдоль

C ветвь многозначной функции arg z, определяемую фиксированным на- чальным значением arg z0.

Лемма 7.1. Пусть z0 комплексное число, не лежащее на мнимой оси, < arg z0 , и функция '(!) = arg(i! + z0) непрерывна на полуоси 0 ! < 1. Тогда если Rez0 < 0, то '(!) монотонно убывает

монотонно возрастает и

lim '(!) = :

!!1 2

132

Доказательство. Пусть Rez0 > 0. Когда ! изменяется от 0 до 1, точка i! + z движется в комплексной плоскости вверх по вертикальному лучу, выходящему из точки z0. Геометрически очевидно, что '(!) моно-

Rez0 < 0. Лемма доказана.

Лемма 7.2. Предположим, что полином с вещественными коэффициентами

f(z) = a0zn + a1zn 1 + : : : + an 1z + an; a0 6= 0; n 1;

не имеет чисто мнимых корней. Тогда, для того чтобы число его корней с положительной вещественной частью (с учетом кратности) равнялось m, необходимо и достаточно, чтобы

f(z)(с учетом кратности), имеющие положительную вещественную

часть, а zm+1; : : : ; zn корни этого полинома с отрицательной вещественной частью. Как известно из алгебры,

f(z) = a0(z z1)(z z2) : : : (z zn):

Аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей, поэтому

n

X

(!) = arg a0 + 'k(!);

k=1

ãäå 'k(!) = arg(i! zk). Можно считать, что все 'k(!) непрерывны на полуоси 0 ! < 1, причем < 'k(0) . По лемме 7.1

133

Рассмотрим '1(!) = arg(i! + ( z1)); Rez1 > 0. Åñëè z1 веществен- íîå, òî arg( z1) = и по лемме 7.1

Åñëè z1 комплексный корень, то в силу вещественности коэффициентов полинома z1 тоже корень полинома f(z), причем Rez1 > 0. Для определенности можно считать, что z2 = z1 è Imz2 = Imz1 < 0. Тогда по лемме 7.1

'1 + '2 = ( 32 arg( z1)) + (2 arg( z2)) = = + (arg( z1) + arg( z1)) =

Из этих рассуждений следует, что

Аналогично доказывается, что

Достаточность очевидна.

Определение 7.7. Полином называется полиномом Гурвица(устойчивым полиномом), если все его корни имеют отрицательные

вещественные части.

Определение 7.8. Пусть f(z) = a0zn + a1zn 1 + : : : + an. Годографом Михайлова функции f(z) называется кривая u = f(i!) в комплексной плоскости, где неотрицательный параметр ! пробегает значения от 0 до

1.

Из леммы 7.2 вытекает справедливость следующего утверждения. Критерий Михайлова. Для того чтобы полином f(z) с веществен-

ными коэффициентами степени n, не имеющий чисто мнимых корней,

был полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы при изменении параметра ! от 0 до 1 радиус-вектор точки f(i!), движущейся вдоль

годографа Михайлова, повернулся против часовой стрелки на угол 2 n. Замечание. При исследовании с помощью критерия Михайлова кон-

кретного полинома на устойчивость нет необходимости искать lim (!).

!!1

134

Из доказательства леммы 7.2 следует, что как только угол поворота

радиуса-вектора точки годографа против часовой стрелки превысит угол2 (n 1), можно утверждать, что корней с положительной вещественной

частью у этого полинома нет.

Пример 7.3. Покажем, пользуясь годографом Михайлова, что все

корни многочлена

f(z) = z3 + 5z2 + 9z + 5

имеют отрицательную вещественную часть. Уравнением годографа функции f(z) является уравнение

u = i!3 5!2 + 9i! + 5; 0 ! < 1;

èëè

Re u = 5!2 + 5;

Im u = !3 + 9!:

При ! = 0 получаем начальную точку годографа u1 = 5. При ! = 1 получаем точку пересечения годографа с мнимой осью u2 = 8i. Ïðè

!= 3 годограф пересекает вещественную ось в точке u3 = 40. Ïðè

!= 4 точкой годографа будет u4 = 75 28i. Годограф изображен на рис. 7.1.

Ðèñ. 7.1

Òàê êàê arg u4 > = 2 (3 1), то, согласно замечанию к критерию Михайлова, можно сделать вывод, что данный многочлен устойчив.

В заключение этого раздела приведем без доказательства принадлежащий Гурвицу критерий того, что многочлен является устойчивым.

135

ãäå as = 0 ïðè s < 0 è s > n.

Теорема Гурвица. Для того чтобы p(z) являлся устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры

a1 a0

1 = a1; 2 = a3 a2 ; : : : ; n = an n 1

его матрицы Гурвица M были положительными.

Замечание. Пусть f(z) = r+qz+pz2 +z3, где r; q; p вещественные. Тогда условия теоремы Гурвица примут вид

ò. å. q > 0; 0 < r < pq.

7.4.Устойчивость возмущенных систем

Пусть дана линейная система следующего вида:

Определение 7.8. Система (7.17) по отношению к (7.18) называется

возмущенной системой.

В данном разделе приводятся достаточные условия на B(x), при ко-

торых из устойчивости (асимптотической устойчивости) системы (7.18) следует то же свойство для возмущенной системы.

Предварительно докажем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 7.3. При любых x и t справедливо тождество

eAx(eAt) 1 = eA(x t):

136

Доказательство. Достаточно доказать, что при произвольном фиксированном t левая и правая части в этом равенстве являются решениями задачи Коши T 0 = AT; T (t) = E и, следовательно, совпадают.

Отметим, что при x = 0 доказанное равенство имеет вид (eAt) 1 =

= e At.

Лемма 7.4. Система (7.17) эквивалентна интегральному уравне-

ò. å. ~ Ax ~

Z(x) = e Y (x). Последнее представление вытекает из формулы (eAx) 1 = e Ax. Из (7.21) имеем

137

Из (7.21) следует, что

òî åñòü ~

Y (x) есть решение интегрального уравнения (7.19).

Обратно, пусть ~

Y (x) решение уравнения (7.19). Тогда имеет место тождество (7.23). Дифференцируя это тождество, получим:

Следовательно, функция ~

Y (x) является решением системы (7.17).

Лемма 7.5. Для любого " > 0 существует константа C = C("), такая что при всех x 0 справедлива оценка

XX

следует

ãäå a j ; b некоторые неотрицательные константы, P (x) многочлен

степени не выше max (k 1). Но при любом " > 0

1 m

lim P (x) = 0:

x!+1 e"x

Отсюда следует, что существует x0 0 такое, что при x x0

P (x) "e"x:

138

А так как P (x) непрерывная функция на [0; x0], то она ограничена на этом отрезке, и, следовательно, существует константа M("), для которой справедливо неравенство

P (x) M(") M(")e"x; x 2 [0; x0]:

Но тогда очевидно, что неравенство (7.24) выполняется при

C(") = maxf"; M(")g:

Лемма 7.6. Предположим, что : 1) функция f(x) непрерывна и неотрицательна при x 2 [a; 1); 2) f(x) ! 0 при x ! 1. Тогда

Следующие две теоремы показывают, что при "малом"возмущении матрицы A из устойчивости (асимптотической устойчивости) системы

(7.18) следует устойчивость (асимптотическая устойчивость) возмущен-

139

Так как система (7.18) устойчива, то все ее решения ограничены, а сле- довательно, матрициант eAx является ограниченной матрицей. Поэтому

из (7.28) имеем

где C некоторая константа. Применим неравенство Беллмана:

Теорема 7.10. Предположим, что B(x) ! 0 при x ! 1, тогда

если система (7.18) асимптотически устойчива, то и система (7.17) асимптотически устойчива.

Доказательство. В силу теоремы 7.8 все собственные значения матрицы A имеют отрицательные действительные части, и, следовательно,

140