Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Дискретные марковские цепи эл пос.doc
Скачиваний:
18
Добавлен:
09.06.2015
Размер:
1.8 Mб
Скачать

52

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

В.Л. Израйлевич, И.А. Кузнецова, О.А. Мыльцина, И.Я. Чернявский

Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике

Часть 2

Случайные процессы

2009 Оглавление

Предисловие 3

1.Введение в теорию случайных процессов 4

2. Дискретные марковские цепи. 6

3. Корреляционная теория случайных процессов 19

4. Условные математические ожидания 23

5. Винеровский процесс и интегралы Ито 24

Решения. 26

2. Дискретные марковские цепи. 26

4. Условные математические ожидания 45

5. Винеровский процесс и интеграл Ито 48

Ответы (Дискретные марковские цепи) 50

Предисловие

Предлагаемый сборник задач предназначен для использования на семинарских занятиях по курсу «Теория случайных процессов» для студентов механико-математического факультета. Его цель – помочь студентам, овладевшим основами теории вероятностей, познакомиться с основными понятиями теории случайных процессов и овладеть методами решения задач, связанных с дискретными цепями Маркова, корреляционной теорией случайных процессов, винеровским процессом, интегралом Ито и стохастическими дифференциальными уравнениями. Отдельный раздел посвящен очень интересной теме – условные математические ожидания относительно σ – алгебры. Для части задач приведены решения. При составлении сборника использовались и известные задачи, возникшие в результате педагогической деятельности авторов.

Авторы будут благодарны за любые замечания, способствующие улучшению данного пособия.

  1. Введение в теорию случайных процессов

Задачи

  1. Является ли событием множество ?

  1. Является ли событием множество ?

  1. Является ли событием множество существует}?

  1. Будут ли траектории случайного процесса (t) = 0t2 + 1t +2, t  (a, b), непрерывны в обычном смысле почти наверно на (a,b)?

  1. Будут ли траектории случайного процесса (t) = 0t2 + 1t +2, t  (a,b), дифференцируемы в обычном смысле почти наверно на (a,b)?

  1. Является ли множество {: Уравнение 0()t2 + 1()t +2()=0 имеет действительные корни} событием?

  1. Является ли событием множество {: Траектории процессов =0()t+0() и =1()t+1() параллельны}?

  1. Является ли событием множество {: Траектории процессов =0()t+0() и =1()t+1() перпендикулярны}?

  1. Пусть случайные величины 1 и 2 равномерно распределены на отрезке [-2;2] и независимы. Чему равна вероятность Р(Траектории процессов tg(1)t и tg(2)t образуют острый угол меньше 45)?

  1. Пусть случайная величина равномерно распределена на отрезке [-1;1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса t образует с положительной полуосью Ох острый угол больше 60)?

  1. Пусть случайная величина равномерно распределена на отрезке [-1;1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса t образует с положительной полуосью Ох угол по модулю меньше 60)?

  1. Пусть случайная величина равномерно распределена на отрезке [-1;1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса t образует с положительной полуосью Ох угол по модулю меньше 30)?

  1. Пусть случайная величина равномерно распределена на отрезке [-1;1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса t образует с положительной полуосью Ох угол по модулю больше 30)?

  1. Пусть случайная величина имеет стандартное нормальное распределение. Чему равно математическое ожидание гдедействительные числа?

  1. Пусть случайные величины и независимы и имеют функции распределения F (x) и F(y) соответственно. Найти конечномерные распределения (до порядка 3 включительно) случайного процесса (t)= t+.

  1. Пусть случайные величины и независимы и имеют распределения: – равномерное на [-1; 0] и – равномерное на [0; 1]. Описать траектории случайного процесса (t)= t+.

  1. Пусть случайные величины и независимы и имеют плотности распределения р (x) и р (y) соответственно. Для процесса (t)= t+ (1–t) найти плотность .

  1. Пусть и независимы и имеют распределения: – равномерное на [-1,0] и – равномерное на [0,1]. Описать траектории случайного процесса (t)= t+.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.