Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дискретные марковские цепи эл пос.doc

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

4. Условные математические ожидания

1) Так как случайные величины I_A и I_В – дискретные, то

Другое решение. Определяемая случайной величиной I_B -алгебра F_В состоит из 4 множеств: , , В и . Тогда

. Так же

. Очевидно, что вообще для любой случайной величины и . Наконец,

Таким образом, если положить , то

F .

12) Так как  – дискретная случайная величина с распределением Р( = а)=1, то рассмотрим , где. Еслиb = a, то , и так какР(А) = 1, то

Действительно, вероятностные меры Р и Р_А совпадают, потому что для любого события С, так как.

Другое решение: Определяемую случайной величиной  -алгебру F_ можно считать состоящей из двух множеств:  и . Так как и, то F_ .

13) Определяемая случайной величиной  -алгебра F_ порождается событиями и всеми борелевскими множествами, принадлежащими [1/2;1], т.е.F_ = {[0;1/2]B; B}, где B  (1/2; 1] – борелевское.

Если А [0;1/2] =, А  F_ то

(1)

Если А  [0;1/2] = , А  F_, то

(2)

Рассмотрим теперь искомое условное математическое ожидание . Эта случайная величина должна бытьF_ -измерима.

Докажем, что она почти наверно постоянна на [0;1/2]. В самом деле, если a и b – два значения  на [0;1/2], то должно пересекаться с [0;1/2]. Но ни одно собственное подмножество [0;1/2] не включается вF_. Следовательно, . Точно так же. Отсюда следует, чтоа = =b, т.е.  на [0;1/2] постоянна почти наверно.

Поэтому из (1) и (2) следует, что в качестве  можно взять

(3)

14) Рассмотрим сначала структуру -алгебры F_, определяемой случайной величиной . По определению эта -алгебра порождается множествами , гдеВ – любое борелевское множество на числовой прямой R. Пусть у В. Тогда оба решения уравнения принадлежат, т.е. это подмножество отрезка [0;1] должно быть симметричным относительно центра 1/2. Но это значит что любое подмножество, являющееся элементомF_ будет симметричным относительно 1/2. (См. рис.)

Возьмем теперь любое А  F_. Пусть .

Тогда .

Сделаем в интеграле по А₂ замену   1– и учтем, что при этом направление интегрирования меняется на противоположное. Тогда

Так как постоянная функция очевидно измерима относительноF_, то .

Интуитивно этот результат очевиден: он дает среднее значение случайной величины  в двух симметричных относительно 1/2 точках: и.

15) Найдем последовательно маргинальную плотность р_(y) и условную плотность р₍__|_₎(y):

;

Отсюда получаем

5. Винеровский процесс и интеграл Ито

6.ж) Применим формулу Ито

(4)

к функции :. Отсюда получаем

6. е) По формуле Ито (4) . Следовательно, .

9) Решение аналогичного обыкновенного дифференциального уравнения подсказывает, что решение стоит искать в виде: . Формула Ито (4), примененная к функции, дает: