ДИФУР ГУРЕВИЧ ЛЕКЦИИ

Покажем, что из тождества (9.35) функция ( 1; : : : ; n 1) опреде-

В силу свойств общего интеграла f kgnk=11 и теоремы 9.1 о неявных функциях система (9.36) однозначно определяет неявные, непрерывно дифференцируемые функции

xk = 'k( 1; : : : ; n 1); k = 1; : : : ; n 1;

определенные в некоторой окрестности точки ( 10; : : : ; n0 1). Подставим функции '1; : : : ; 'n 1 в (9.35) вместо x1; : : : ; xn 1 и получим формулу для функции :

( 1; : : : ; n 1) = '('1( 1; : : : ; n 1); : : : ; 'n 1( 1; : : : ; n 1)); (9.37)

определенную и непрерывно дифференцируемую в окрестности точки ( 10; : : : ; n0 1): Нетрудно видеть, что функция (9.34), в которой задает-

ся по формуле (9.37), есть решение задачи Коши (9.33), определенное в некоторой окрестности точки (x01; : : : ; x0n): Единственность решения за-

дачи Коши следует из единственности функции . Теорема доказана.

Доказательство теоремы 9.7 содержит метод решения задачи Коши для линейного однородного уравнения в частных производных. Проиллюстрируем этот метод на примере.

Пример 9.3. Рассмотрим задачу Коши

ãäå u(x1; x2; x3) неизвестная функция.

Найдем общее решение уравнения (9.38). Для этого рассмотрим характеристическую систему этого уравнения:

Общее решение этой системы очевидно:

x1 = c1; x2 = x23 + c2:

171

Разрешая эти соотношения относительно c1 è c2, получаем два незави- симых первых интеграла характеристической системы:

По замечанию 2 к теореме 9.4 любое решение уравнения (9.38) представимо в виде

ãäå (t1; t2) непрерывно дифференцируемая функция. Найдем с помощью начального условия (9.39). Имеем

u(x1; x2; 0) = (x1; x2) = sin x1 + cos x2:

Подставляя найденную функцию в (9.40), получаем решение исходной

задачи Коши:

u(x1; x2; x3) = sin x1 + cos(x2 x23):

Задачу Коши можно ставить и для квазилинейных уравнений в частных производных. Покажем на примере, как эти задачи решаются с помощью теорем 9.5 и 9.6.

Пример 9.4. Рассмотрим задачу Коши

где z(x; y) неизвестная функция. Будем искать решение задачи (9.41)

(9.42) в области

D = f(x; y)jy > 0; y2 > x2g:

Введем в рассмотрение линейное однородное уравнение, которое по теореме 9.5 соответствует квазилинейному уравнению (9.41), а именно

где v(x; y; z) неизвестная функция. Чтобы найти общее решение уравнения (9.43), надо найти общий интеграл его характеристической систе-

Одним из способов нахождения первых интегралов является нахождение так называемых интегрируемых комбинаций. Например, в нашем примере (9.44) имеем

172

что дает нам первый интеграл:

отсюда получаем второй первый интеграл:

2(x; y; z) = ln y z:

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что 1, 2 решения уравнения (9.43), т. е. 1 è 2 действительно являются (по теореме 9.4) интегралами характеристической системы (9.44). Их независимость следует из того, что в рассматриваемой области D

Таким образом, любое решение уравнения (9.43) представимо в виде

ãäå (t1; t2) непрерывно дифференцируемая функция.

Пусть функция z = '(x; y) является решением задачи Коши (9.41) (9.42) в некоторой окрестности точки (0; y0) 2 D. По теореме 9.6 существует ненулевая функция v(x; y; z) вида (9.45), такая что в каждой точке этой окрестности выполняется равенство

v(x; y; '(x; y)) = 0;

èëè

Основным моментом при нахождении функций и ' является следующее предположение:

173