ДИФУР ГУРЕВИЧ ЛЕКЦИИ

смотрим произвольный набор непрерывно дифференцируемых в окрест- ности (c01; : : : ; c0n) функций f i(c1; : : : ; cn)gni=1, удовлетворяющих условию

Определим функции

i = 1; : : : ; n: (9.8)

Очевидно, система f ~i(x; y1; : : : ; yn)gni=1 есть общий интеграл системы (9.1) в окрестности точки (x0; y10; : : : ; yn0), òàê êàê

соотношениями вида (9.8). Рассмотрим соотношения (9.6), которые, как было показано, неявно определяют решения системы (9.1) в виде (9.7). Наряду с (9.6) введем в рассмотрение соотношения

Найдем связь между константами ci è c~i. Положим в (9.7) x = x0 è

Обозначим левые части этих равенств через i(c1; : : : ; cn), i = 1; : : : ; n. Нетрудно видеть, что в силу (9.10)

i( 1(x; y1; : : : ; yn); : : : ; n(x; y1; : : : ; yn)) ~i(x; y1; : : : ; yn)

в некоторой окрестности точки (x0; y10; : : : ; yn0).

161

Замечание 5. Пусть ~(x; y1; : : : ; yn) произвольный первый инте-

грал системы (9.1), определенный в окрестности точки (x0; y10; : : : ; yn0), à f i(x; y1; : : : ; yn)gni=1 общий интеграл, определенный в окрестности

этой точки. Тогда существует непрерывно дифференцируемая функция(c1; : : : ; cn), такая что

( 1(x; y1; : : : ; yn); : : : ; n(x; y1; : : : ; yn)) ~(x; y1; : : : ; yn)

в окрестности точки (x0; y10; : : : ; yn0).

Справедливость этого утверждения следует из рассуждений в замечании 4, если положить ~1(x; y1; : : : ; yn) = ~(x; y1; : : : ; yn).

Замечание 6. Один из способов нахождения общего интеграла системы (9.1) состоит в следующем: найти общее решение системы (9.1) в виде (9.7) и разрешить эти соотношения относительно произвольных по-

стоянных, т. е. получить соотношения (9.6). Тогда при выполнении условий теоремы 9.1 система функций f i(x; y1; : : : ; yn)gni=1будет общим ин-

тегралом системы (9.1).

В следующей теореме содержится простой критерий, с помощью которого можно определить, является ли данная функция (x; yi; : : : ; yn)

первым интегралом системы (9.1).

Теорема 9.3. Предположим, что для любой точки (x0; y10; : : : ; yn0) 2 2 D задача Коши для системы (9.1) с начальными условиями

бы функция была первым интегралом системы (9.1), необходимо и достаточно, чтобы в D выполнялось тождество

но определению первого интеграла в некоторой окрестности точки x0 выполняется тождество

(x; '1(x); : : : ; 'n(x)) const:

Продифференцировав обе части этого тождества, получим тождество

162

Полагая в этом тождестве x = x0 и учитывая условия (9.11), приходим к равенству

из которого в силу произвольности точки (x0; y10; : : : ; yn0) следует тождество (9.12). Обратно, пусть для функции в области D выполняется

тождество (9.12), а '1(x); : : : ; 'n(x) произвольное решение системы (9.1), график которого принадлежит D. По формуле дифференцирования сложной функции

dxd (x; '1(x); : : : ; 'n(x)) = x0 (x; '1(x); : : : ; 'n(x))+

n

X

+ y0 k (x; '1(x); : : : ; 'n(x))'0k(x):

k=1

Отсюда в силу (9.1) получаем

dxd (x; '1(x); : : : ; 'n(x)) = x0 (x; '1(x); : : : ; 'n(x))+

n

X

+ y0 k (x; '1(x); : : : ; 'n(x))fk0 (x; '1(x); : : : ; 'n(x)):

k=1

На основании (9.12) функция справа тождественно равна нулю, так как (x; '1(x); : : : ; 'n(x)) 2 D. Следовательно, вдоль любого решения систе-

ìû (9.1)

(x; '1(x); : : : ; 'n(x)) const;

т. е. первый интеграл. Теорема доказана.

9.3.Линейные однородные уравнения

âчастных производных первого порядка

Определение 9.4. Уравнением в частных производных первого порядка называется уравнение вида

163

ãäå x1; : : : ; xn независимые переменные, u = u(x1; : : : ; xn) неизвест-

Определение 9.5. Функция (x1; : : : ; xn), имеющая непрерывные частные производные первого порядка в области G Rn, называ-

В этом примере n = 2, F (x1; x2; x3; x4; x5) = x4. Нетрудно видеть, что произвольная непрерывно дифференцируемая функция (x2), завися- щая только от x2, является решением уравнения (9.14). Пример показы-

вает, что, вообще говоря, семейство решений уравнения в частных производных богаче семейства решений обыкновенного дифференциального уравнения.

Простейшим классом дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка является класс уравнений вида

ãäå A1; : : : ; An заданные функции.

Определение 9.6. Уравнение (9.15) называется линейным однородным уравнением в частных производных первого порядка .

Предположим, что функции A1; : : : ; An в уравнении (9.15) определе-

ны и непрерывны вместе с частными производными первого порядка в области G Rn, и пусть, для определенности, An 6= 0 в каждой точке

области G.

Введем в рассмотрение следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

которая называется характеристической системой уравнения (9.15).

Теорема 9.4. Для того чтобы непрерывно дифференцируемая функция (x1; : : : ; xn), не равная тождественно постоянной в G, была ре-

шением уравнения (9.15), необходимо и достаточно, чтобы она была первым интегралом системы (9.16).

164

Доказательство. Согласно теореме 9.3, функция является пер-

вым интегралом системы (9.16) тогда и только тогда, когда в каждой точке области G выполняется равенство

Последнее тождество означает, что функция u = (x1; : : : ; xn) является решением уравнения (9.15). Теорема доказана.

Замечание 7. Если в каждой точке области G в уравнении (9.15) все

Ak 6= 0(k = 1; : : : ; n), то у этого уравнения существует n характеристиче-

ских систем, которые условно записываются в следующей симметричной форме:

Как следует из теоремы 9.4, множества первых интегралов этих характеристических систем совпадают.

Замечание 8. Пусть f i(x1; : : : ; xn)gn 1

i=1 общий интеграл характеристической системы уравнения (9.15), определенный в области G, а

(x1; : : : ; xn) произвольное решение уравнения (9.15) в этой области. Рассмотрим произвольную точку (x01; : : : ; x0n). Из теоремы 9.4 и замеча- ния 2 к теореме 9.2 следует, что в некоторой окрестности этой точки функция представима в виде

ãäå (c1; : : : ; cn 1) непрерывно дифференцируемая функция.

С другой стороны, любая функция вида (9.17) по теореме 9.4 есть

решение уравнения (9.15).

Учитывая последнее замечание, естественно дать следующее опреде-

ление.

Определение 9.7. Пусть f k(x1; : : : ; xn)gnk=11 общий интеграл ха- рактеристической системы уравнения (9.15). Множество решений вида (9.17) называется общим решением уравнения (9.15).

Таким образом, задача решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка (9.15) сводится к нахождению общего интеграла его характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

165

9.4. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка

Следующим по сложности после линейных однородных уравнений является класс уравнений вида

A1(x1; : : : ; xn; u)u0x1 + + An(x1; : : : ; xn; u)u0xn = An+1(x1; : : : ; xn; u);

(9.18)

ãäå A1; : : : ; An+1 заданные функции n + 1 переменного.

Определение 9.8. Уравнение (9.18) называется квазилинейным уравнением в частных производных первого порядка .

Относительно функций A1; : : : ; An+1 предположим, что они определены и непрерывны вместе с частными производными в области D Rn+1.

Рассмотрим произвольную точку (x01; : : : ; x0n; u0) 2 D и будем искать решение u = '(x1; : : : ; xn) уравнения (9.18) в окрестности этой точки в виде неявной функции, определяемой уравнением

где v непрерывно дифференцируемая функция, подлежащая опреде-

лению.

Имеет место тождество

XX

По условию, ' решение (9.18), т. е.

n=1

X

k=1

Из (9.22) и (9.23) следует, что

n

X

Ak(x1; : : : ; xn; '(x1; : : : ; xn))vx0 k (x1; : : : ; xn; '(x1; : : : ; xn))+

k=1

166

+An+1(x1; : : : ; xn; '(x1; : : : ; xn))vu0 (x1; : : : ; xn; '(x1; : : : ; xn)) 0: (9.24)

Тождество (9.24) подсказывает нам ввести в рассмотрение линейное однородное уравнение

окрестности точки (x01; : : : ; x0n) и является решением уравнения (9.18).

Доказательство. На основании теоремы 9.1 уравнение (9.19) определяет в некоторой окрестности точки (x01; : : : ; x0n) однозначную непрерывно дифференцируемую функцию u = '(x1; : : : ; xn), причем u0 =

= '(x01; : : : ; x0n). По определению неявной функции справедливы тождества (9.20) и, как следствие, (9.21), (9.22). Покажем, что ' решение

уравнения (9.18), т. е. выполняется тождество (9.23).

Функция v является решением уравнения (9.25), поэтому имеет место тождество (9.24). Из тождеств (9.21) и (9.24) вытекает тождество

n

X

Ak ( vu0 '0xk ) + An+1vu0 0:

k=1

Разделив обе части этого тождества на vu0 , получим тождество (9.23). Теорема доказана.

Согласно теореме 9.5, с помощью решений линейного однородного уравнения (9.25) можно находить решения квазилинейного уравнения (9.18) в неявном виде (9.19). Естественно, возникает вопрос: для всякого ли решения u = u(x1; : : : ; xn) уравнения (9.18) найдется ненулевое

решение v = v(x1; : : : ; xn; u) уравнения (9.25), такое что для них будет

справедливо соотношение (9.19)? Положительный ответ на этот вопрос

при некоторых предположениях дает следующая теорема.

Теорема 9.6. Пусть (x01; : : : ; x0n; u0) 2 D и по крайней мере одна из функций A1; : : : ; An в уравнении (9.18) нигде в D не обращается в

нуль. Пусть u = '(x1; : : : ; xn) решение уравнения (9.18), определенное в окрестности точки (x01; : : : ; x0n), è '(x01; : : : ; x0n) = u0. Тогда суще- ствует ненулевое решение v = (x1; : : : ; xn; u) уравнения (9.25), определенное в окрестности точки (x01; : : : ; x0n; u0), такое что в некоторой

167

окрестности точки (x01; : : : ; x0n) выполняется тождество

Доказательство. Обозначим через f j(x1; : : : ; xn; u)gnj=1 общий ин-

теграл характеристической системы уравнения (9.25), определенный в окрестности точки (x01; : : : ; x0n; u0). Он существует по теореме 9.2. На ос-

Умножим каждое из этих равенств соответственно на

~

Ak(x1; : : : ; xn; '(x1; : : : ; xn)) = Ak(x1; : : : ; xn)

и сложим:

Отсюда, с учетом (9.27) и (9.28), получаем тождества

которые означают, что функции '1; : : : ; 'n являются решениями в окрестности точки (x01; : : : ; x0n) линейного однородного уравнения

n

X

k=1

168

причем из условий теоремы следует, что один из коэффициентов этого уравнения нигде не обращается в нуль.

Функции 'j(x1; : : : ; xn), j = 1; : : : ; n; являются первыми интеграла-

ми характеристической системы уравнения (9.29) (см. теорему 9.4), но в силу замечания 2 к теореме 9.4 число независимых первых интегралов в этом случае не может быть больше n 1. Следовательно, существует

ненулевая непрерывно дифференцируемая функция (s1; : : : ; sn), такая что в некоторой окрестности точки (x01; : : : ; x0n)

Рассмотрим теперь функцию

v(x1; : : : ; xn; u) = ( 1(x1; : : : ; xn; u); : : : ; n(x1; : : : ; xn; u)):

Очевидно, функция v не равна тождественно нулю, и, согласно замеча-

нию 2 к теореме 9.4, она является решением уравнения (9.25). Из определения функций 'j (j = 1; : : : ; n) и тождества (9.30) следует, что в окрестности точки (x01; : : : ; x0n) выполняется тождество

v(x1; : : : ; xn; '(x1; : : : ; xn)) 0;

т. е. справедливо (9.26). Теорема доказана.

Таким образом, в некотором смысле формулу (9.19), в которой v

произвольное ненулевое решение уравнения (9.25), можно рассматривать как общее решение квазилинейного уравнения (9.18).

9.5.Задача Коши

Дифференциальные уравнения, как обыкновенные, так и в частных производных, имеют, как правило, бесконечно много решений. Для нахождения конкретного решения требуется дополнительная информация об этом решении. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений в качестве такой информации можно задавать, например, значения искомого решения и его производных в некоторой точке и решать так называемую задачу Коши. Подобные задачи существуют и для уравнений в частных производных.

Рассмотрим вначале геометрически наглядный случай уравнения относительно функции двух переменных:

где A, B известные функции, z(x; y) неизвестная функция.

169

График любого решения z = (x; y) уравнения (9.31) в трехмерном пространстве R3 переменных x, y, z представляет собой некоторую по-

верхность, которая называется интегральной поверхностью. Зададим те- ïåðü â R3 некоторую кривую. Ограничимся случаем, когда эта кривая

описывается уравнением

ãäå y0 заданное число, '(x) известная функция.

Определение 9.9. Задача нахождения решения уравнения (9.31), удовлетворяющего условию (9.32), называется задачей Коши.

С геометрической точки зрения задача Коши (9.31) (9.32) представляет собой задачу нахождения интегральной поверхности уравнения (9.31), проходящей через заданную кривую.

Рассмотрим аналог задачи (9.31) (9.32) для случая n переменных.

Определение 9.10. Пусть x0n заданное число, '(x1; : : : ; xn 1) заданная непрерывно дифференцируемая функция. Задача нахождения решения уравнения

A1(x1; : : : ; xn)u0x1 + + An(x1; : : : ; xn)u0xn = 0;

удовлетворяющего в каждой точке (x1; : : : ; xn 1; x0n) 2 G условию

u(x1; : : : ; xn 1; x0n) = '(x1; : : : ; xn 1); (9.33)

называется задачей Коши.

Теорема 9.7. Пусть (x01; : : : ; x0n) 2 G è An(x01; : : : ; x0n) 6= 0: Тогда существует число 0 > 0, такое что для всех положительных чисел

< 0 задача Коши (9.33) имеет единственное решение, определенное

в - окрестности точки (x01; : : : ; x0n).

Доказательство. Пусть f i(x1; : : : ; xn)gni=1 общий интеграл ха-

рактеристической системы уравнения (9.16), определенный в окрестности точки (x01; : : : ; x0n). На основании замечания 8 к теореме 9.4 будем

искать решение задачи (9.33) в виде

где непрерывно дифференцируемая функция, которую надо вы-

брать так, чтобы выполнялось начальное условие, т. е. в некоторой окрестности точки (x01; : : : ; x0n 1) должно выполняться равенство

( (x1; : : : ; xn 1; x0n); : : : ; n 1(x1; : : : ; xn 1; x0n)) = '(x1; : : : ; xn 1):

(9.35)

170