4) Движение твердого тела с одной неподвижной точкой.

     Заметим, что в общем случае, когда ось вращения не совпадает ни с одной из главных осей инерции, хотя и проходит через центр инерции тела, направление вектора  не совпадает с вектором и связь между этими векторами носит сложный характер. Эго обстоятельство является причиной сложного поведения вращающихся твердых тел.

     В качестве практически важного примера вращения твердого тела рассмотрим гироскопы. Гироскопом называют массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси

Рис. 6.20. Гироскоп как пример вращения твердого тела

     симметрии. Рассмотрим поведение гироскопа на примере волчка. Опыт показывает, что если ось вращающегося волчка наклонена к вертикали, то волчок не падает, а совершает так называемоепрецессионное движение (прецессию) - его ось описывает конус вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью , причем оказывается: чем больше угловая скорость  вращения волчка, тем меньше угловая скорость прецессии .

      Такое поведение волчка гироскопа можно легко объяснить с помощью уравнения моментов (6.12), если только принять, что . Это условие, кстати, поясняет, что имеется в виду под большойугловой скоростью гироскопа. Действительно, момент импульса  прецессирующего волчка относительно точки опоры О (рис. 6.20) можно представить в виде суммы момента импульса , обусловленного вращением волчка вокруг своей оси, и некоторого добавочного момента импульса , вызванного прецессией волчка вокруг вертикальной оси, т. е.

     

     Поскольку ось волчка совпадает с одной из главных осей инерции, то, согласно (6.36), где  момент инерции волчка относительно этой оси. Кроме того, ясно, что чем меньше угловая скорость прецессии, тем меньше и соответствующий момент . При  во всех практически интересных случаях , поэтому результирующий момент импульса  практически совпадает с  как по величине, так и по направлению, - можно считать, что

     

     Зная же поведение вектора , можно определить и характер движения оси волчка-гироскопа.

     Поведением вектора  управляет уравнение моментов (6.12). Согласно ему, момент импульса относительно точки O (рис. 6.20) получает за время dt приращение

     

(6.37)

     совпадающее пo направлению с вектором  - моментом внешних сил относительно той же точки О. В данном случае это момент силы тяжести  Из рис.6.20 видно, что. В результате вектор , а следовательно, и ось волчка, будет поворачиваться вместе с вектором  вокруг вертикали, описывая круговой конус с углом полураствора . Волчок-гироскоп будет прецессировать вокруг вертикальной оси с некоторой угловой скоростью.

     Найдем связь между векторами и . Согласно рисунку, модуль приращения вектора  за время dt есть , или в векторном виде . После подстановки этого выражения в (6.37) получим

     

(6.38)

     Из этого уравнения видно, что момент силы определяет угловую скорость прецессии , а не ускорение. Поэтому мгновенное устранение момента  приводит к мгновенному исчезновению и прецессии. В этом отношении можно сказать, что прецессия не обладает инерцией.

     Заметим, что момент сил , действующий на гироскоп, может иметь любую природу. Для обеспечения постоянной угловой скорости прецессии важно только, чтобы вектор , не меняясь по модулю, поворачивался вместе с осью гироскопа.

     Пример. Найти угловую скорость прецессии наклонного волчка массы т, вращающегося с большой угловой скоростью  вокруг своей оси симметрии, относительно которой момент инерции волчка равен I. Центр масс волчка находится на расстоянии l от точки опоры.

     Согласно (6.38), угол между вертикалью и осью волчка (рис. 6.20). Отсюда

     

     Интересно, что величина  не зависит от угла наклона  оси волчка. Кроме того, полученный результат показывает, что угловая скорость прецессии  обратно пропорциональна , т. е., действительно, чем больше угловая скорость волчка, тем меньше угловая скорость его прецессии.

     В конце параграфа введем понятие гироскопического момента сил. Для этого рассмотрим эффект, возникающий при вынужденном вращении оси гироскопа. Пусть, например, ось гироскопа укреплена в U-образной подставке, которую мы будем поворачивать вокруг оси  как показано на рис. 6.21. Если момент импульса гироскопа направлен вправо, то при

Рис. 6.21. Гироскопический момент сил

     таком повороте за время dt вектор  получит приращение  - вектор, направленный за плоскость рисунка. Согласно (6.37), это означает, что на гироскоп действует момент сил , совпадающий по направлению с вектором . Момент  обусловлен возникновением пары сил F, действующих на ось гироскопа со стороны подставки. Ось же гироскопа в соответствии с третьим законом Ньютона будет действовать на подставку с силами F' (рис. 6.21). Эти силы называют гироскопическими они создаютгироскопический момент. Заметим, что в данном случае гироскоп не обладает способностью противодействовать изменению направления его оси вращения.

     Появление гироскопических сил называютгироскопическим эффектом. Подобный гироскопический эффект, связанный с возникновением гироскопического давления на подшипники, наблюдается, например, у роторов турбин на кораблях при поворотах и качке, у винтовых самолетов при виражах и т.п.

     Проследим действие гироскопического момента на примере гироскопа, ось которого вместе с рамкой (рис. 6.22) может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси 00' U-образной подставки.

Рис. 6.22. Пример гироскопа с подвижной осью

     Если подставке сообщить вынужденное вращение вокруг вертикальной оси, как показано на рисунке вектором , то момент импульса  гироскопа получит за время dt приращение  - вектор, направленный за рисунок. Эго приращение обусловлено моментом  пары сил, действующих на ось гироскопа со стороны рамки. Гироскопические силы, действующие со стороны оси гироскопа на рамку, вызовут поворот последней вокруг горизонтальной оси 00'. При этом вектор  получит дополнительное приращение  которое в свою очередь обусловлено моментом  пары сил, действующих на ось гироскопа со стороны рамки. В результате ось гироскопа будет поворачиваться так, что вектор  будет стремиться совпасть по направлению с вектором .

     Таким образом, за время dt момент импульса гироскопа  получает приращение . При этом на рамку действует гироскопический момент

     

.

     Составляющая этого момента вызывает поворот рамки вокруг горизонтальной оси 00', другая составляющая противодействует повороту всей системы вокруг вертикальной оси (в отличие от предыдущего случая).

     Гироскопический эффект лежит в основе разнообразных применений гироскопов: гирокомпас, гироскопический успокоитель качки кораблей, гироскопический стабилизатор и др.