2) Плоское движение тердого тела.

     Перейдем к рассмотрению плоского движения твердого тела. При плоском движении центр масс С твердого тела движется в определенной плоскости, неподвижной в данной К-системе отсчета, а вектор его угловой скорости  все время остается перпендикулярным этой плоскости. Последнее означает, что в С-системе твердое тело совершает чисто вращательное движение вокруг неподвижной в этой системе оси, проходящей через центр инерции тела. Вращательное же движение твердого тела определяется уравнением (6.30), которое, как было отмечено, справедливо в любой системе отсчета.

     Таким образом, мы имеем следующие два уравнения, описывающие плоское движение твердого тела:

     

(6.34)

     где т - масса тела,  - результирующая всех внешних сил, и  - момент инерции и суммарный момент всех внешних сил относительно оси, проходящей через центр инерции тела.

     При этом следует помнить, что момент включает в себя только внешние силы взаимодействия, несмотря на то что С-система в общем случае является неинерциальной. Это связано с тем, что суммарный момент сил инерции равен нулю как относительно центра масс, так и относительно любой оси, проходящей через эту точку. Поэтому его можно просто не учитывать .

     Заметим также, что угловое ускорение , а следовательно, и  одинаковы в обеих системах отсчета, так как C-система движется поступательноотносительно инерциальной K-системы отсчета.

     Интегрируя уравнения (6.34) с учетом начальных условий, можно найти зависимости и  и, определяющие положение твердого тела в любой момент t.

     При решении задачи о движении несвободноготвердого тела необходимо использовать еще одно, дополнительное, условие, определяющее ограничения движения имеющимися связями. Оно дает кинематическую связь между линейным и угловым ускорениями.

     Пример. Однородный цилиндр массы m и радиуса r скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол  с (рис.6.18). Найти уравнения движения цилиндра.

     Стандартный подход к решению подобной задачи состоит в следующем. Сперва определяют силы, действующие на тело, и точки их

Рис. 6.18. Скатывание цилиндра с наклонной плоскости

     приложения. В данном случае это  - сила тяжести, - нормальная составляющая силы реакции со стороны наклонной плоскости и  - сила трения покоя. Затем выберем положительные направления оси х и угла поворота . Эти направления лучше всего взять сразу согласованными, так чтобы знаки ускорений и  были одинаковы, например, как показано па рис.6.18, справа. После этого записывают сами уравнения движения, в проекциях па выбранные таким образом положительные направления и :

     

     Кроме того, условие отсутствия скольжения определяет еще кинематическую связь между ускорениями:

     

     Совместное решение этих трех уравнений дает возможность найти ускоренияи  также силу .

     Выведем уравнение для кинетической энергии твердого тела при плоском движении. Пусть тело совершает плоское движение в некоторой инерциальной K-системе отсчета. Чтобы найти его кинетическую энергию Т в этой системе, воспользуемся формулой (5.12). Входящая в эту формулу величина  в данном случае представляет собой кинетическую энергию вращения тела в С-системе вокруг оси, проходящей через центр масс тела. Согласно (6.31) поэтому сразу можно записать

     

(6.35)

     где  - момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через его центр масс,  -угловая скорость тела, т - его масса,  - скорость центра инерции тела в K-системе отсчета

     Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из энергии вращения в С-системе и энергии, связанной с движением центра масс.