3) Вращение твердого тела вокруг свободных осей.

     Рассмотрим понятие свободных осей твердого тела и его главных осей инерции. Если твердое тело привести во вращение и затем предоставить самому себе, то направление оси вращения в пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо приложить определенные силы.

     Рассмотрим этот вопрос более подробно на следующем примере. Пусть середина С однородного стержня жестко скреплена с осью вращения так, что угол между стержнем и осью равен  (рис. 6.19). Найдем момент 

Рис. 6.19. Определение свободных осей твердого тела

     внешних сил, которые необходимо приложить к оси вращения, чтобы при вращении стержня с угловой скоростью  ее направление не менялось. Согласно (6.12), этот момент . Таким образом, чтобы определить , сначала надо найти момент импульса стержня , а затем его производную по времени.

     Момент импульса  проще всего определить относительно точки С. Мысленно выделим элемент стержня массы dm, находящийся на расстоянии r от точки С. Его момент импульса относительно этой точки  где  скорость элемента. Легко видеть, чти вектор , направлен перпендикулярно стержню (рис.6.19), причем его направление не зависит от выбора элемента dm. Поэтому суммарный момент импульса  стержня совпадает по направлению с вектором .

     Заметим, что в данном случае вектор  не совпадает по направлению с вектором .

      При вращении стержня вектор  будет также вращаться с угловой скоростью. За промежуток времени dt вектор  получает приращение , модуль которого, как видно из рис. 6.19, равен  или в векторном виде . Поделив обе части последнего выражения на dt, получим

     

     Таким образом, действительно, для удержания оси вращения в неизменном направлении к ней необходимо в данном случае приложить момент некоторых внешних сил , показанных на рис. 6.19. Однако нетрудно видеть, что если , то вектор  совпадает по направлению с вектором , и в этом случае, т. е. направление оси вращения будет оставаться неизменным без внешнего воздействия.

     Ось вращения, направление которой в пространстве остается неизменным без действия на нее каких-либо сил извне, называют свободной осьютела.

     В общей теории доказывается, что для любого твердого тела существуют три взаимно перпендикулярные проходящие через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями. Их называют главными осями инерции тела.

     Нахождение главных осей инерции для тела произвольной формы - в математическом отношении сложная задача. Однако она очень упрощается для тел, обладающих той или иной симметрией, ибо положение центра инерции и направление главных осей инерции обладают в этом случае той же симметрией.

     Например, у однородного прямоугольного параллелепипеда главные оси инерции проходят через центры противолежащих граней. Если тело обладает осью симметрии, как например, однородный цилиндр, одной из его главных осей инерции является ось симметрии, в качестве же остальных осей могут служить две любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси симметрии и проходящей через центр инерции тела. Таким образом, у тела с осевой симметрией фиксирована только одна из главных осей инерции. У тела с центральной симметрией (например, у однородного шара) главными осями инерции являются три любые взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тела,-ни одна из главных осей инерции не фиксирована относительно тела.

     Важной особенностью главных осей инерции тела является то обстоятельство, что при вращении тела вокруг любой из них момент импульса  тела совпадает по направлению с угловой скоростью тела и определяется формулой

     

(6.36)

     где I - момент инерции тела относительно данной главной оси инерции. Причем  не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют - при условии, что ось вращения неподвижна.

     Наиболее просто убедиться в справедливости (6.36) можно для случая однородного тела с осевой симметрией. Действительно, согласно (6.27), момент импульса твердого тела относительно оси вращения  Напомним, что  - это проекция вектора , определенного относительно любой точки на этой оси. Но если тело симметрично относительно оси вращения, то из соображения симметрии сразу следует, что вектор  совпадает по направлению с вектором  и, значит, .