Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то Динамика твердого тела

     Движение твердого тела в общем случае определяется двумя векторными уравнениями. Одно из них - уравнение движения центра масс (4.11), другое-уравнение моментов в С-системе (6.24):

     

(6.26)

     Зная законы действующих внешних сил, точки их приложения и начальные условия, можно с помощью этих уравнений найти как скорость, так и положение каждой точки твердого тела в любой момент времени, т. е. полностью решить задачу о движении тела. Однако, несмотря на кажущуюся простоту уравнений (6.26), решение их в общем случае представляет собой весьма трудную задачу. Это прежде всего обусловлено тем обстоятельством, что связь между собственным моментом импульса  и скоростями отдельных точек твердого тела в С-системе оказывается сложной, за исключением немногих частных случаев. Мы не будем рассматривать эту задачу в общем виде (она решается в курсе теоретической механики) и ограничимся в дальнейшем только отдельными частными случаями.

     Приведем некоторые соображения, прямо вытекающие из вида самих уравнений (6.26). Если перенести силы вдоль направления их действия, то ясно, что не изменятся ни их результирующая , ни их суммарный момент . При этом уравнения (6.26) тоже не изменятся, а следовательно не изменится и движение твердого тела. Поэтому точки приложения внешних сил можно переносить вдоль направления действия сил - удобный прием решения задач, которым постоянно пользуются.

     Рассмотрим теперь понятие равнодействующей силы. В тех случаях, когда суммарный момент всех внешних сил оказывается перпендикулярным результирующей силе, т. е. , все внешние силы могут быть сведены к одной силе , действующей вдоль определенной прямой. В самом деле, если относительно некоторой точки Осуммарный момент , то всегда можно найти такой вектор  (рис. 6.14), что при заданных и 

     

     При этом выбор  неоднозначен: прибавление к нему любого вектора ,

Рис. 6.14. Введение понятия равнодействующей силы

     параллельного , не изменит последнего равенства. А это означает, что данное равенство определяет не точку "приложения" силы , а линию ее действия. Зная модули M и F соответствующих векторов, можно найти плечо l силы  (рис.6.14): .

     Таким образом, если , систему сил, действующих на отдельные точки твердого тела, можно заменить одной равнодействующей силой - силой, которая равна результирующей  и создает момент, равный суммарному моменту  всех внешних сил.

     Таким случаем является действие однородного силового поля, например поля тяжести, в котором действующая на каждую частицу сила имеет вид . В этом случае суммарный момент сил тяжести относительно любой точки О равен

     

     Стоящая в круглых скобках сумма, равна где масса тела  радиус-вектор его центра масс относительно точки O. Поэтому

     

     Это означает, что равнодействующая  сил тяжести проходит через центр масс тела. Обычно говорят, что равнодействующая сил тяжести приложена к центру масс тела или к его центру тяжести. Ясно, что момент этой силы относительно центра масс тела равен нулю.

     Теперь перейдем к рассмотрению четырех важных частных случаев движения твердого тела.

     Вращение вокруг неподвижной оси.

     Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Найдем выражение для момента импульса твердого тела относительно оси 00' (рис. 6.15). Воспользовавшись формулой (6.9) запишем

     

     где и  - масса и расстояние от оси вращения  частицы твердого тела,  - его угловая скорость. Обозначив величину, стоящую в круглых скобках, через I, получим

     

(6.27)

     где I - так называемый момент инерции твердого тела относительно оси 00':

     

	(6.28)
Рис. 6.15. Вращение твердого тела вокруг оси

     Момент инерции твердого тела зависит, как нетрудно видеть, от распределения масс относительно интересующей нас оси и является величиной аддитивной.

     Вычисление момента инерции тела проводится по формуле

     

     где dm и dV - масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии  от интересующей нас оси z,  - плотность тела в данной точке.

     Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси, проходящей через центр масс тела, приведены в следующей таблице (здесь т - масса тела):

Вид твердого тела	Положение оси	Момент инерции
Тонкий стержень длины L	Перпендикулярно стержню
Сплошной цилиндр радиуса R	Совпадает с осью цилиндра
Тонкий диск радиуса R	Совпадает с диаметром диска
Шар радиуса R	Проходит через центр шара

     Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы относительно той или иной оси представляет собой, вообще говоря, довольно кропотливую в математическом отношении задачу. Однако в некоторых случаях нахождение момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси z равен моменту инерции относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы т тела нa квадрат расстояния амежду осями:

     

(6.29)

     Доказательство этой теоремы приведено в приложении.

     Таким образом, если известен момент инерции то нахождение момента инерции I элементарно.Например, момент инерции тонкого стержня (массы ти длины l) относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, равен

     

     Запишем основное уравнение динамики вращения твердого тела с неподвижной осью вращения. Это уравнение легко получить, как следствие (6.15), если продифференцировать (6.27) по времени, тогда

     

(6.30)

     где  - суммарный момент всех внешних сил относительно оси вращения, проекция углового ускорения на ось вращения. Из этого уравнения, в частности, видно, что момент инерции I определяет инерционные свойства твердого тела при вращении: при одном и том же значении момента сил  тело с большим моментом инерции приобретает меньшее угловое ускорение.

     Вспомним, что моменты сил относительно оси - величины алгебраические: их знаки зависят как от выбора положительного направления оси z, совпадающей с осью вращения, так и от направления

Рис. 6.16. Выбор положительного направления вращения (правый винт)

     "вращения" соответствующего момента силы. Например, выбрав положительное направление осиz, как показано на рис. 6.16, мы тем самым

     задаем и положительное направление отсчета угла - оба эти направления связаны правилом правого винта. Полагают, что если некоторый момент "вращает" в положительном направлении угла, то он считается положительным, и наоборот. А знак суммарного момента  в свою очередь определяет знак  - проекции вектора углового ускорения на ось z.

     Интегрирование уравнения (6.30) с учетом начальных условий -значений угловой скорости и угла и  начальный момент времени - позволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, т. е. найти зависимость от времени угловой скорости  и угла поворота.

     Заметим, что уравнение (6.30) справедливо влюбой системе отсчета, жестко связанной с осью вращения. Однако если система отсчета неинерциальная, то необходимо помнить, что момент сил  включает в себя не только моменты сил взаимодействия с другими телами, но и моменты сил инерции.

     Получим выражение для кинетической энергии вращающегося твердого тела с неподвижной осью вращения. Учитывая связь скорости  частицы вращающегося твердого тела с угловой скоростью запишем

     

,

     или, более коротко

     

,

(6.31)

     где I - момент инерции тела относительно оси вращения,  - его угловая скорость.

     Пример. Диск 1 (рис.6.17) вращается вокруг гладкой вертикальной оси с угловой скоростью . На него падает диск 2, вращающийся с угловой скоростью. Вследствие трения между ними оба диска через некоторое время начинают вращаться как единое целое. Найти приращение кинетической энергии вращения этой системы, если моменты инерции дисков относительно оси вращения равны соответственно и .

Рис. 6.17. Пример определения приращения кинетической энергии

     Сначала найдем установившуюся угловую скорость вращения. Из закона сохранения момента импульса системы относительно оси z следует, что , откуда получаем

     

     Заметим, чтои и  - величины алгебраические. Если окажется, что  то это значит, что соответствующий вектор совпадает с положительным направлением оси z, и наоборот. Приращение кинетической энергии вращения этой системы

     

     Заменив  его выражением, получим

     

     Знак минус показывает, что кинетическая энергия системы уменьшается.

     Обратим внимание на то, что полученные результаты весьма похожи и по форме, и по смыслу на случай абсолютно неупругого столкновения частиц.

     Рассмотрим работу внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. В соответствии с законом изменения механической энергии системы элементарная работа всех внешних сил, действующих на твердое тело, равна приращению только кинетической энергии тела, так как его собственная потенциальная энергия при этом не меняется. Таким образом, . Воспользовавшись (6.31), запишем . Так как ось z совпадает с осью вращения, то  и

     

     Но согласно (6.30). Подставив это выражение в последнее уравнение для  и учтя, что  получим

     

(6.32)

     Работа  - величина алгебраическая: если и  имеют одинаковые знаки, то если же их знаки противоположны, то 

     Работа внешних сил при повороте твердого тела на конечный угол  равна

     

(6.33)

     В случае, если  последнее выражение упрощается: 

     Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси определяется моментом  этих сил относительно данной оси. Если силы таковы, что их момент  то работы они не производят.