Тема 6. Ряди Фур’є. Інтеграл Фур’є

Розвинення функцій в тригонометричний ряд Фур’є. Комплексна форма ряду Фур’є.

Збіжність рядів Фур’є. Ядро Діріхле і інтеграл Діріхле. Ядро Фейєра і суми Фейєра.

Перетворення Фур’є похідної. Похідна перетворення Фур’є.

Тема 7. Функції багатьох змінних

Функції багатьох змінних. Область визначення і множина значень. Лінії рівня і поверхні рівня функції.

Границя функції багатьох змінних.

Неперервність і рівномірна неперервність функції багатьох змінних. Відображення.

Частинні похідні функції багатьох змінних. Диференціал і його властивості. Частинні похідні складної функції.

Похідна за напрямом. Градієнт.

Частинні похідні і диференціали вищих порядків.

Формула Тейлора і ряд Тейлора.

Локальні екстремуми функцій багатьох змінних. Дослідження функцій на локальний екстремум.

Умовний екстремум. Метод Лагранжа знаходження точок умовного екстремуму.

Тема 8. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли

Подвійний інтеграл. Безпосереднє обчислення подвійного інтегралу. Зведення подвійного інтегралу до повторного.

Обчислення потрійних інтегралів зведенням до повторних. Властивості потрійних інтегралів.

Криволінійні інтеграли 1-го роду і їх властивості. Зведення до звичайного визначеного інтегралу.

Криволінійні інтеграли 2-го роду і їх властивості. Випадок замкнутого контуру.

Поверхневі інтеграли 1-го роду. Зведення поверхневого інтегралу до подвійного. Поверхневі інтеграли 2-го роду.

Формула Гауса-Остроградського. Застосування формули Гауса-Остроградського для обчислення поверхневих інтегралів.

Індивідуальні заняття

Тема 1. Теорія дійсних чисел

Числові функції. Елементарні функції. Область визначення функції. Графік функції. Монотонні функції. Обернена функція.

Тема 2. Границя і неперервність функції

Нескінченно малі і нескінченно великі функції та їх властивості. Деякі визначні границі.

Односторонні границі. Часткові границі. Порівняння функцій. Символи О(f),o(f).

Неперервність функції на відрізку. Властивості функцій, неперервних на відрізку. Неперервність функцій, заданих параметрично.

Тема 3. Диференціальне числення

Обчислення границь за допомогою формули Тейлора.

Задачі на знаходження найменших і найбільших значень.

Тема 4. Інтегральне числення

Обчислення об’ємів тіл і площ поверхонь.

Наближене обчислення інтегралів. Оцінка інтегралів.

Абсолютна і умовна збіжність інтегралів від необмежених функцій. Головне значення інтегралу.

Абсолютна і умовна збіжність інтегралів з необмеженими границями інтегрування. Головне значення інтегралу.

Тема 5. Ряди

Метод виділення головної частини. Ознаки Даламбера і Коші збіжності ряду.

Тема 6. Ряди фур’є. Інтеграл Фур’є

Представлення функцій інтегралом Фур’є.

Тема 7. Функції багатьох змінних

Частинні похідні функцій, заданих неявно. Заміна змінних.

Найбільше і найменше значення функції багатьох змінних.

Тема 8. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли

Застосування подвійного інтегралу для обчислення площі, об’єму і площі поверхні.

Умови незалежності криволінійного інтегралу від шляху. Диференціювання інтегралу, що не залежить від шляху. Інтеграли по замкнутому контуру.

Контрольні запитання

Тема 1. Теорія дійсних чисел

1. Які операції можна здійснювати над множинами? Дати визначення кожної з них.

2. Що таке відображення, образ, прообраз?

3. Які Ви знаєте відображення? Навести приклади.

4. Що називають перерізом множини дійсних чисел?

5. В чому полягає принцип неперервності дійсних чисел?

6. Яку множину називають обмеженою, необмеженою?

7. Що таке верхня, нижня грань множини?

8. Які множини мають верхню, нижню грань?

9. В чому полягає принцип вкладених відрізків?

10. Які множини називають незліченними?

11. Чи може незліченна множина бути обмеженою? Навести приклад.

12. Чи може незліченна множина бути необмеженою? Навести приклад.